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格林函数 Green function

对于费米子,格林函数(Green function)的定义:

\begin{aligned}G_{i,j}(t, t')&=-i\langle \mathcal{T} [ c_{i}(t)c_j^{\dagger}(t') ] \rangle\\   & =-i \left[   \theta(t-t')  \langle  c_{i}(t)c_j^{\dagger}(t')   \rangle -    \theta(t'-t)  \langle c_j^{\dagger}(t')  c_{i}(t)  \rangle     \right]  \\  &= \theta(t-t')    G_{i,j}^{>}(t, t')  +   \theta(t'-t)   G_{i,j}^{<}(t, t')      \right]      \end{aligned}

其中,\mathcal{T}为编时算符。\langle \cdots \rangle表示求平均。\theta(t)为阶跃函数。

此外,可以定义以下四个格林函数。

1. “大于”格林函数("greater" Green function)

G_{i,j}^{>}(t, t') = -i \langle c_{i}(t)c_j^{\dagger}(t')\rangle

2. “小于”格林函数 ("lesser" Green function)

G_{i,j}^{<}(t, t') = i \langle c_j^{\dagger}(t')c_{i}(t)\rangle

3. 推迟格林函数(retarded Green function)

\begin{aligned}  G^{R}_{i,j}(t, t')&=-i \theta (t-t')  \langle  \{ c_{i}(t), c_j^{\dagger}(t')  \} \rangle \\  &= -i \left[\theta (t-t')  \langle c_{i}(t)c_j^{\dagger}(t')\rangle+ \theta (t-t')   \langle   c_j^{\dagger}(t')c_{i}(t) \rangle \right]\\  &= \theta(t-t')    G_{i,j}^{>}(t, t') -   \theta(t-t')   G_{i,j}^{<}(t, t')\\  &= \theta(t-t')    G_{i,j}^{>}(t, t')  -   [1-\theta(t'-t)]   G_{i,j}^{<}(t, t')\\  &= G_{i,j}(t, t') -  G_{i,j}^{<}(t, t') \end{aligned}

4. 超前格林函数(advanced Green function)

\begin{aligned}  G^{A}_{i,j}(t, t')&=i \theta (t'-t)  \langle  \{ c_{i}(t), c_j^{\dagger}(t')  \} \rangle \\  &= i \left[ \theta (t'-t)    \langle c_{i}(t)c_j^{\dagger}(t')\rangle+  \theta (t'-t)    \langle   c_j^{\dagger}(t')c_{i}(t) \rangle \right]\\  &=  -\theta (t'-t)     G_{i,j}^{>}(t, t') + \theta (t'-t)    G_{i,j}^{<}(t, t')\\  &=  -[1-\theta (t-t') ]    G_{i,j}^{>}(t, t')  + \theta (t'-t)    G_{i,j}^{<}(t, t')\\  &= G_{i,j}(t, t') -  G_{i,j}^{>}(t, t') \end{aligned}

需要注意的是:大括号{}中有逗号,表示的是反对易式。这里由于中括号[]中没有逗号,所以仅仅表示的是中括号,而不是对易式。

参考资料:

[1] 北京大学Prof. Qingfeng Sun学术报告

[2] Mahan, "Many-particle physics"

[3] Henrik Bruus and Karsten Flensberg, "Many-body quantum theory in condensed matter physics"

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