格林函数 Green function

对于费米子，格林函数（Green function）的定义：

$\begin{aligned}G_{i,j}(t, t')&=-i\langle \mathcal{T} [ c_{i}(t)c_j^{\dagger}(t') ] \rangle\\ & =-i \left[ \theta(t-t') \langle c_{i}(t)c_j^{\dagger}(t') \rangle - \theta(t'-t) \langle c_j^{\dagger}(t') c_{i}(t) \rangle \right] \\ &= \theta(t-t') G_{i,j}^{>}(t, t') + \theta(t'-t) G_{i,j}^{<}(t, t') \right] \end{aligned}$

其中， $\mathcal{T}$ 为编时算符。 $\langle \cdots \rangle$ 表示求平均。 $\theta(t)$ 为阶跃函数。

此外，可以定义以下四个格林函数。

1. “大于”格林函数（"greater" Green function）

$G_{i,j}^{>}(t, t') = -i \langle c_{i}(t)c_j^{\dagger}(t')\rangle$

2. “小于”格林函数（"lesser" Green function）

$G_{i,j}^{<}(t, t') = i \langle c_j^{\dagger}(t')c_{i}(t)\rangle$

3. 推迟格林函数（retarded Green function）

$\begin{aligned} G^{R}_{i,j}(t, t')&=-i \theta (t-t') \langle \{ c_{i}(t), c_j^{\dagger}(t') \} \rangle \\ &= -i \left[\theta (t-t') \langle c_{i}(t)c_j^{\dagger}(t')\rangle+ \theta (t-t') \langle c_j^{\dagger}(t')c_{i}(t) \rangle \right]\\ &= \theta(t-t') G_{i,j}^{>}(t, t') - \theta(t-t') G_{i,j}^{<}(t, t')\\ &= \theta(t-t') G_{i,j}^{>}(t, t') - [1-\theta(t'-t)] G_{i,j}^{<}(t, t')\\ &= G_{i,j}(t, t') - G_{i,j}^{<}(t, t') \end{aligned}$

4. 超前格林函数（advanced Green function）

$\begin{aligned} G^{A}_{i,j}(t, t')&=i \theta (t'-t) \langle \{ c_{i}(t), c_j^{\dagger}(t') \} \rangle \\ &= i \left[ \theta (t'-t) \langle c_{i}(t)c_j^{\dagger}(t')\rangle+ \theta (t'-t) \langle c_j^{\dagger}(t')c_{i}(t) \rangle \right]\\ &= -\theta (t'-t) G_{i,j}^{>}(t, t') + \theta (t'-t) G_{i,j}^{<}(t, t')\\ &= -[1-\theta (t-t') ] G_{i,j}^{>}(t, t') + \theta (t'-t) G_{i,j}^{<}(t, t')\\ &= G_{i,j}(t, t') - G_{i,j}^{>}(t, t') \end{aligned}$

需要注意的是：大括号{}中有逗号，表示的是反对易式。这里由于中括号[]中没有逗号，所以仅仅表示的是中括号，而不是对易式。

参考资料：

[1] 北京大学Prof. Qingfeng Sun学术报告

[2] Mahan, "Many-particle physics"

[3] Henrik Bruus and Karsten Flensberg, "Many-body quantum theory in condensed matter physics"

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