在方格子、石墨烯中态密度与费米能的关系图（附Python代码）

这里的计算的方格子和石墨烯都是有长度，有宽度情况，即准零维的量子点。二维的情况可以参考这篇文献：二维晶格色散关系和态密度的紧束缚模型计算。

本篇的态密度是使用格林函数的方法来计算。在下面计算的结果可以发现：当长度和宽度足够长时，总态密度与费米能的关系接近于二维的情况（因为存在边缘态，所以结果也不一样完全相同）。

需要说明的是：

• 虚数项eta的取值应该比较小，才是比较真实的态密度情况。当虚数项eta比较小时，态密度是离散的几个峰。
• 在下面的计算中，虚数项eta的取值相对比较大，即eta=0.1，目的是使得几个峰有相对大的展宽，使得态密度随着量子的尺寸增加更容易接近与二维的情况。实际上，当体系足够大时，多个峰也会连在一块，使得曲线连续。
• 具体关于eta的讨论参考这篇：用格林函数计算态密度时费米能中虚部的取值。

1. 方格子

代码如下：

"""
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The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/4622
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import *
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False   #用来正常显示负号


def hamiltonian(width=10, length=10):   # 方格子哈密顿量
    h = np.zeros((width*length, width*length))
    # y方向的跃迁
    for x in range(length):
        for y in range(width-1):
            h[x*width+y, x*width+y+1] = 1
            h[x*width+y+1, x*width+y] = 1

    # x方向的跃迁
    for x in range(length-1):
        for y in range(width):
            h[x*width+y, (x+1)*width+y] = 1
            h[(x+1)*width+y, x*width+y] = 1

    return h
    

def main():
    plot_precision = 0.01  # 画图的精度
    Fermi_energy_array = np.arange(-5, 5, plot_precision)  # 计算中取的费米能Fermi_energy组成的数组
    dim_energy = Fermi_energy_array.shape[0]   # 需要计算的费米能的个数
    total_DOS_array = np.zeros((dim_energy))   # 计算结果（总态密度total_DOS）放入该数组中
    h = hamiltonian()  # 体系的哈密顿量
    dim = h.shape[0]   # 哈密顿量的维度
    i0 = 0
    for Fermi_energy in Fermi_energy_array:
        print(Fermi_energy)  # 查看计算的进展情况
        green = np.linalg.inv((Fermi_energy+0.1j)*np.eye(dim)-h)   # 体系的格林函数
        total_DOS = -np.trace(np.imag(green))/pi    # 通过格林函数求得总态密度
        total_DOS_array[i0] = total_DOS   # 记录每个Fermi_energy对应的总态密度
        i0 += 1
    sum_up = np.sum(total_DOS_array)*plot_precision    # 用于图像归一化
    plt.plot(Fermi_energy_array, total_DOS_array/sum_up, '-')   # 画DOS(E)图像
    plt.xlabel('费米能')
    plt.ylabel('总态密度')
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    main()

当长度为10，宽度为10时，计算的结果为：

当长度为20，宽度为20时，计算的结果为：

当长度为30，宽度为30时，计算的结果为：

2. 石墨烯（六角格子）

代码如下：

"""
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The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/4622
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import *
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False   #用来正常显示负号


def hamiltonian(width=8, length=8):   # 石墨烯格子的哈密顿量。这里width要求为4的倍数
    h = np.zeros((width*length, width*length))
    # y方向的跃迁
    for x in range(length):   
        for y in range(width-1):
            h[x*width+y, x*width+y+1] = 1
            h[x*width+y+1, x*width+y] = 1

    # x方向的跃迁
    for x in range(length-1):  
        for y in range(width):
            if np.mod(y, 4)==0:
                h[x*width+y+1, (x+1)*width+y] = 1
                h[(x+1)*width+y, x*width+y+1] = 1

                h[x*width+y+2, (x+1)*width+y+3] = 1
                h[(x+1)*width+y+3, x*width+y+2] = 1

    return h
    

def main():
    plot_precision = 0.01  # 画图的精度
    Fermi_energy_array = np.arange(-5, 5, plot_precision)  # 计算中取的费米能Fermi_energy组成的数组
    dim_energy = Fermi_energy_array.shape[0]   # 需要计算的费米能的个数
    total_DOS_array = np.zeros((dim_energy))   # 计算结果（总态密度total_DOS）放入该数组中
    h = hamiltonian()  # 体系的哈密顿量
    dim = h.shape[0]   # 哈密顿量的维度
    i0 = 0
    for Fermi_energy in Fermi_energy_array:
        print(Fermi_energy)  # 查看计算的进展情况
        green = np.linalg.inv((Fermi_energy+0.1j)*np.eye(dim)-h)   # 体系的格林函数
        total_DOS = -np.trace(np.imag(green))/pi    # 通过格林函数求得总态密度
        total_DOS_array[i0] = total_DOS   # 记录每个Fermi_energy对应的总态密度
        i0 += 1
    sum_up = np.sum(total_DOS_array)*plot_precision    # 用于图像归一化
    plt.plot(Fermi_energy_array, total_DOS_array/sum_up, '-')   # 画DOS(E)图像
    plt.xlabel('费米能')
    plt.ylabel('总态密度')
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    main()

当长度为8，宽度为8时，计算的结果为：

当长度为20，宽度为20时，计算的结果为：

当长度为32，宽度为32时，计算的结果为：

因为石墨烯的边缘态是在零能附近，所以这里可以很明显的看到边缘态的态密度。

参考资料：

[1] 二维晶格色散关系和态密度的紧束缚模型计算

[2] 紧束缚模型态密度图像的Python实现

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