霍夫斯塔特蝴蝶(Hofstadter butterfly)的文献:Douglas R. Hofstadter, "Energy levels and wave functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields", Phys. Rev. B 14, 2239 (1976).
有限体系方格子的哈密顿量:方格子模型在实空间中的哈密顿量形式。
引入磁场:佩尔斯替换 Peierls substitution。
霍夫斯塔特蝴蝶的代码为:
"""
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"""
import numpy as np
import cmath
import matplotlib.pyplot as plt
def main():
for n in np.arange(1, 11):
print('n=', n)
width = n
length = n
B_array = np.arange(0, 1, 0.001)
eigenvalue_all = np.zeros((B_array.shape[0], width*length))
i0 = 0
for B in B_array:
# print(B)
h = hamiltonian(width, length, B)
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(h)
eigenvalue_all[i0, :] = np.real(eigenvalue)
i0 += 1
plt.plot(B_array, eigenvalue_all, '.r', markersize=0.5)
plt.title('width=length='+str(n))
plt.xlabel('B*a^2/phi_0')
plt.ylabel('E')
plt.savefig('width=length='+str(n)+'.jpg', dpi=300)
plt.close('all') # 关闭所有plt,防止循环画图时占用内存
# plt.show()
def hamiltonian(width, length, B): # 方格子哈密顿量
h = np.zeros((width*length, width*length), dtype=complex)
# y方向的跃迁
for x in range(length):
for y in range(width-1):
h[x*width+y, x*width+y+1] = 1
h[x*width+y+1, x*width+y] = 1
# x方向的跃迁
for x in range(length-1):
for y in range(width):
h[x*width+y, (x+1)*width+y] = 1*cmath.exp(-2*np.pi*1j*B*y)
h[(x+1)*width+y, x*width+y] = 1*cmath.exp(2*np.pi*1j*B*y)
return h
if __name__ == "__main__":
main()
计算结果为:












参考资料:
[1] Landau levels, molecular orbitals, and the Hofstadter butterfly in finite systems
[2] 知乎:二维方格Hofstadter's butterfly
[3] 知乎:什么是凝聚态中的 Hofstadter butterfly(霍夫斯塔特蝴蝶)?
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关老师,您能否画一个2维电流分布? 谢谢
参考这篇:局域电流的计算(附Python代码)。
请问这样做不受gauge影响吗?好像这样做对应着连续场的微分,也就是 p=v+qA. 我们是在算v.
算能带和电流,计算结果跟gauge没关系吧
你好 这个模型有matalb程序嘛
没有的,可以根据语义进行改写。代码大概能看懂一点点吧。