学术, 朗道能级

方格子的霍夫斯塔特蝴蝶(附Python代码)

霍夫斯塔特蝴蝶(Hofstadter butterfly)的文献:Douglas R. Hofstadter, "Energy levels and wave functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields", Phys. Rev. B 14, 2239 (1976).

有限体系方格子的哈密顿量:方格子模型在实空间中的哈密顿量形式

引入磁场:佩尔斯替换 Peierls substitution

霍夫斯塔特蝴蝶的代码为:

"""
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The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/8491
"""

import numpy as np
import cmath
import matplotlib.pyplot as plt


def main():
    for n in np.arange(1, 11):
        print('n=', n)
        width = n
        length = n
        B_array = np.arange(0, 1, 0.001)
        eigenvalue_all = np.zeros((B_array.shape[0], width*length))
        i0 = 0
        for B in B_array:
            # print(B)
            h = hamiltonian(width, length, B)
            eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(h)
            eigenvalue_all[i0, :] = np.real(eigenvalue)
            i0 += 1
        plt.plot(B_array, eigenvalue_all, '.r', markersize=0.5)
        plt.title('width=length='+str(n))
        plt.xlabel('B*a^2/phi_0')
        plt.ylabel('E')
        plt.savefig('width=length='+str(n)+'.jpg', dpi=300)
        plt.close('all')  # 关闭所有plt,防止循环画图时占用内存
        # plt.show()


def hamiltonian(width, length, B):   # 方格子哈密顿量
    h = np.zeros((width*length, width*length), dtype=complex)
    # y方向的跃迁
    for x in range(length):
        for y in range(width-1):
            h[x*width+y, x*width+y+1] = 1
            h[x*width+y+1, x*width+y] = 1
    # x方向的跃迁
    for x in range(length-1):
        for y in range(width):
            h[x*width+y, (x+1)*width+y] = 1*cmath.exp(-2*np.pi*1j*B*y)
            h[(x+1)*width+y, x*width+y] = 1*cmath.exp(2*np.pi*1j*B*y)
    return h


if __name__ == "__main__":
    main()

计算结果为:

参考资料:

[1] Landau levels, molecular orbitals, and the Hofstadter butterfly in finite systems

[2] 知乎:二维方格Hofstadter's butterfly

[3] 知乎:什么是凝聚态中的 Hofstadter butterfly(霍夫斯塔特蝴蝶)?

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10 thoughts on “方格子的霍夫斯塔特蝴蝶(附Python代码)”

  1. 关老师,那种没有边缘态能量的蝴蝶(就是最开始的那种蝴蝶翅膀里面是有空白的地方)该怎么画

    1. 原始文献好像是用连续模型进行计算的。这里是用紧束缚模型算的,可以在x和y方向简单地加上周期性边界条件,就可以得到没有边缘态的蝴蝶谱。

    1. Peierls替换会导致在条带边界上不连续,只能通过扩胞来处理,这时候才可以应用周期性边界条件。元胞要取多大具体看Peierls替换中系数的周期。一般来说,磁场越小,需要的磁元胞越大。

      1. 请问这样做不受gauge影响吗?好像这样做对应着连续场的微分,也就是 p=v+qA. 我们是在算v.

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