模型和能带, 学术

石墨烯紧束缚模型到低能有效模型的推导

1. 石墨烯紧束缚模型

这是之前的两篇:

石墨烯示意图为[1]:

石墨烯紧束缚模型在倒空间的形式(晶格常数为1,原子间距为1/\sqrt{3}):

H=\sum_{k} \begin{pmatrix}|\mathbf{k}, A\rangle |\mathbf{k}, B\rangle\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & f(\mathbf{k})\\f^{*}(\mathbf{k})  & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\langle \mathbf{k}, A| \\\langle \mathbf{k}, B|\end{pmatrix}

其中,f(\mathbf{k})=1+\mathrm{exp}(-\frac{\sqrt{3}i}{2}k_x+\frac{i}{2}k_y)}+\mathrm{exp}(-\frac{\sqrt{3}i}{2}k_x-\frac{i}{2}k_y)}

以上的表达式是以元胞为单元进行的傅里叶变换[2,3]。如果以原子为单元,f(\mathbf{k})的表达式写为:

f(\mathbf{k})=\mathrm{exp}(\frac{i}{\sqrt{3}}k_x)+\mathrm{exp}(-\frac{i}{2\sqrt{3}}k_x+\frac{i}{2}k_y)}+\mathrm{exp}(-\frac{i}{2\sqrt{3}}k_x-\frac{i}{2}k_y)}

2. 石墨烯低能有效模型

接着把石墨烯紧束缚模型在狄拉克点附近展开,可以得到狄拉克点附近的低能有效模型[1]。

石墨烯倒格子示意图为[1]:

找到两个狄拉克点的位置,为\mathbf{K}=(0, \frac{4}{3}\pi)\mathbf{K}'=(0, -\frac{4}{3}\pi)

\mathbf{K}谷为例,定义\mathbf{q}=\mathbf{k}-\mathbf{K},在\mathbf{q}=0附近泰勒展开。参考"常用的泰勒近似"中的二元函数泰勒展开。

对表达式f(\mathbf{k})=1+\mathrm{exp}(-\frac{\sqrt{3}i}{2}k_x+\frac{i}{2}k_y)}+\mathrm{exp}(-\frac{\sqrt{3}i}{2}k_x-\frac{i}{2}k_y)}泰勒展开:

\begin{aligned}  f(\mathbf{k}) &\approx f(\mathbf{K})+q_x \frac{\partial}{\partial k_x}f(\mathbf{K})+q_y \frac{\partial}{\partial k_y}f(\mathbf{K})\\&=0+q_x[-\frac{\sqrt{3}i}{2}\mathrm{exp}(\frac{i}{2}\frac{4}{3}\pi)-\frac{\sqrt{3}i}{2}\mathrm{exp}(-\frac{i}{2}\frac{4}{3}\pi) ]\\& \quad \quad +q_y[\frac{i}{2}\mathrm{exp}(\frac{i}{2}\frac{4}{3}\pi)-\frac{i}{2}\mathrm{exp}(-\frac{i}{2}\frac{4}{3}\pi) ]\\&=\frac{\sqrt{3}i}{2}q_x-\frac{\sqrt{3}}{2}q_y\end{aligned}

所以石墨烯的低能有效模型为[1]:

如果考虑\mathbf{K'}谷,有

    \[f(k)\approx \frac{\sqrt{3}i}{2}q_x+\frac{\sqrt{3}}{2}q_y\]

有效模型为:

    \[\frac{\sqrt{3}}{2} \begin{pmatrix} 0  &  q_x i + q_y \\ -q_x i + q_y & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\sqrt{3}}{2} (q_x \sigma_y - q_y \sigma_x)\]

参考资料:

[1] 广州大学Prof. Yanyang Zhang的课件

[2] 离散格子的傅里叶变换和反傅里叶变换

[3] 知乎:六角蜂窝格子紧束缚模型的计算

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3 thoughts on “石墨烯紧束缚模型到低能有效模型的推导”

  1. 博主您好,狄拉克点在三维空间一般是四重简并的,但是这是算的是2*2矩阵,得到的是两能带图,这表现不出来它的四重简并啊?

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