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常用的泰勒近似

泰勒公式:

\begin{aligned} f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 \\  +\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)  \end{aligned}

麦克劳林公式( 泰勒公式的特殊形式,在零点展开)[1,2]:

f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)

常见函数的展开(麦克劳林展开):

e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)

ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)

sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+o(x^5)

cos(x)=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4)

\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)

\begin{aligned}(1+x)^\alpha=1&+\frac{\alpha}{1!}x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2\\&+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+o(x^3)\end{aligned}

物理中一般取到一阶项或者取到二阶项,如:

sin(x) \approx x

cos(x) \approx 1-\frac{1}{2}x^2

\frac{1}{1-x}\approx 1+x

二元函数的泰勒展开如下所示[1]:

参考资料:

[1] 《数学分析 第四版 下册》华东师范大学数学系编

[2] 百度百科: 麦克劳林公式

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$Latex formula$  [latexpage]

2 thoughts on “常用的泰勒近似”

  1. 你好,泰勒展开到二次项,sin(x)+sin(x/2) = x+x/2,这个式子能这样算吗?

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