以二维电子气为例,哈密顿量为:
磁场沿着方向,选取朗道规范(Landau gauge):
加磁场后,薛定谔方程写为:
其中,算符:
此外,波函数可以写为:
代入薛定谔方程,得到:
为了得到标准谐振子方程[2]:
变量替换:
代入,得到:
通过观察,参数选为:
即变量替换为:
标准谐振子方程的解为[2]:,即
令,得到:
用厄密多项式表示[2]:
即
因此,波函数写为:
此外,朗道能级还可以用粒子数算符来求解:用粒子数算符求解朗道能级。
参考资料:
[1] 广州大学Prof. Yanyang Zhang课堂笔记
[2] 季燕江《量子力学讲义》的4.2节、6.5节、8.3节
[3] Yan-Yang Zhang et al, Three-dimensional topological insulator in a magnetic field: chiral side surface states and quantized Hall conductance, J. Phys.: Condens. Matter 24 015004 (2012).
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