学术, 朗道能级

二维电子气的朗道能级

以二维电子气为例,哈密顿量为:

H=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}

磁场沿着z方向,选取朗道规范(Landau gauge):

\overrightarrow{A}=(-By, 0, 0)

加磁场后,薛定谔方程写为:

\frac{(p_x+eBy)^2+p_y^2}{2m}\psi&=E\psi

其中,算符:

\begin{aligned} p_x&=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\\p_y&=-i\hbar\frac{\partial}{\partial y}\end{aligned}

此外,波函数可以写为:

\psi=e^{ikx}f(y)

代入薛定谔方程,得到:

\begin{aligned} \big[(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}+eBy )^{2}+(-i\hbar \frac{\partial}{\partial y})^{2}\big]  e^{ikx}f(y) &=2mEe^{ikx}f(y)\\\big[-\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2} +  (\hbar k+eBy )^{2} \big] f(y) &=2mEf(y)\\\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(y) +\big[ \frac{2mE}{\hbar^2}-\big(k+\frac{eBy}{\hbar}\big)^{2} \big] f(y) &=0\end{aligned}

为了得到标准谐振子方程[2]:

\frac{\partial ^2}{\partial \xi^2}f(\xi)+(\lambda-\xi^2})f(\xi)=0

变量替换:

\begin{aligned}  \xi &= ay+b \\  \lambda&=cE  \end{aligned}

代入,得到:

\begin{aligned}  a^2\frac{\partial^2}{\partial \xi^2}f(\xi) +\big[ \frac{2m\frac{\lambda}{c}}{\hbar^2}-\big(k+\frac{eB\frac{\xi-b}{a}}{\hbar}\big)^{2} \big] f(\xi) &=0\\\frac{\partial^2}{\partial \xi^2}f(\xi) +\big\{\frac{2m\lambda}{\hbar^2 a^2 c}-\big[\frac{k}{a}+\frac{eB(\xi-b)}{\hbar a^2}\big]^{2} \big\} f(\xi) &=0\end{aligned}

通过观察,参数选为:

\begin{aligned}  a&=\sqrt{\frac{eB}{\hbar}} \\    b&=\frac{k}{a}=\frac{k}{\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}}\\c&=\frac{2m}{\hbar^2 a^2}=\frac{2m}{\hbar eB}\end{aligned}

即变量替换为:

\begin{aligned} \xi &= \sqrt{\frac{eB}{\hbar}}y+\frac{k}{\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}} \\ \lambda&=\frac{2m}{\hbar eB}E\end{aligned}

标准谐振子方程的解为[2]:\lambda=2n+1,即E=(2n+1)\frac{\hbar eB}{2m}

\omega = \frac{eB}{m},得到:E=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega

f(\xi)用厄密多项式表示[2]:f_{n}(\xi})=e^{-\frac{\xi^2}{2}}H_n(\xi)

f_{n}(y})=\mathrm{exp}\big[-\frac{1}{2}   (\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}y+\frac{k}{\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}})^2\big]H_n\big(\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}y+\frac{k}{\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}}\big)

因此,波函数写为:\psi=e^{ikx}f(y)=\mathrm{exp}\big[ikx-\frac{1}{2} (\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}y+\frac{k}{\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}})^2\big]H_n\big(\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}y+\frac{k}{\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}}\big)

此外,朗道能级还可以用粒子数算符来求解:用粒子数算符求解朗道能级

参考资料:

[1] 广州大学Prof. Yanyang Zhang课堂笔记

[2] 季燕江《量子力学讲义》的4.2节、6.5节、8.3节

[3] Yan-Yang Zhang et al, Three-dimensional topological insulator in a magnetic field: chiral side surface states and quantized Hall conductance, J. Phys.: Condens. Matter 24 015004 (2012).

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