学术, 朗道能级

狄拉克电子朗道能级的根号N分布

参考之前的博文:二维电子气的朗道能级

狄拉克电子最小哈密顿量:

H=v_F \hbar (k_x \sigma_x+k_y \sigma_y)

磁场沿着z方向,选取朗道规范(Landau gauge):

\overrightarrow{A}=(-By, 0, 0)

加磁场后,薛定谔方程写为:

v_F  \begin{pmatrix} 0  &  \hbar k_x+eBy-i \hbar k_y \\\hbar k_x+eBy+i \hbar k_y  &  0  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}\psi_A \\ \psi_B \end{pmatrix}=E \begin{pmatrix}\psi_A \\ \psi_B \end{pmatrix}

E\neq 0时:

v_F^2 ( \hbar k_x+eBy-i\hbar k_y)(\hbar k_x+eBy+i \hbar k_y)\psi_A=E^2 \psi_A

v_F^2 [(\hbar k_x+eBy)^2+(\hbar k_y)^2-eB\hbar]\psi_A=E^2 \psi_A

其中,算符:

\begin{aligned} k_x&=-i\frac{\partial}{\partial x}\\k_y&=-i\frac{\partial}{\partial y}\end{aligned}

此外,波函数可以写为:

\psi_A=e^{ikx}f(y)

代入薛定谔方程,得到:

v_F^2 [( -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}+eBy)^2+(-i \hbar \frac{\partial}{\partial y})^2-eB\hbar]e^{ikx}f(y)=E^2 e^{ikx}f(y)

[-\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2} +(\hbar k+eBy)^2-eB\hbar]f(y)=\frac{E^2}{v_F^2} f(y)

\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(y)+[\frac{E^2}{v_F^2 \hbar^2}-(k+\frac{eBy}{\hbar})^2+\frac{eB}{\hbar}]f(y)=0

为了得到标准谐振子方程:

\frac{\partial ^2}{\partial \xi^2}f(\xi)+(\lambda-\xi^2})f(\xi)=0

变量替换:

\begin{aligned}  \xi &= ay+b \\  \lambda&=cE^2+d\end{aligned}

代入,得到:

a^2 \frac{\partial^2}{\partial \xi^2}f(\xi)+[\frac{\frac{\lambda-d}{c}}{v_F^2 \hbar^2}-(k+\frac{eB\frac{\xi-b}{a}}{\hbar})^2+\frac{eB}{\hbar}]f(\xi)=0

\frac{\partial^2}{\partial \xi^2}f(\xi)+[\frac{\frac{\lambda-d}{c}}{v_F^2 \hbar^2 a^2}-(\frac{k}{a}+\frac{eB(\xi-b)}{ \hbar a^2})^2+\frac{eB}{\hbar a^2}]f(\xi)=0

通过观察,参数选为:

\begin{aligned}  a&=\sqrt{\frac{eB}{\hbar}} \\    b&=\frac{k}{a}=\frac{k}{\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}}\\c&=\frac{1}{v_F^2 \hbar^2 a^2}=\frac{1}{v_F^2 \hbar e B}\\d&=1\end{aligned}

即变量替换为:

\begin{aligned} \xi &= \sqrt{\frac{eB}{\hbar}}y+\frac{k}{\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}} \\\lambda&=\frac{1}{v_F^2 \hbar e B} E^2+1\end{aligned}

标准谐振子方程的解为:\lambda=2n+1,即E=\pm \sqrt{2e \hbar v_F^2 n B}

波函数用厄密多项式表示,这里略。

前面考虑的是E\neq 0的情况。当E=0时,代入原方程,仍然是方程的解,波函数要单独推导。

此外,朗道能级还可以用粒子数算符来求解:用粒子数算符求解朗道能级

参考资料:

[1] 广州大学Prof. Yanyang Zhang课堂笔记

[2] J. W. McClure, Diamagnetism of Graphite, Phys. Rev. 104, 666 (1956).

[3] Nguyen Hong Shon, and Tsuneya Ando, Quantum Transport in Two-Dimensional Graphite System, J. Phys. Soc. Jpn. 67, pp. 2421-2429 (1998).

[4] Li, G., Andrei, E. Observation of Landau levels of Dirac fermions in graphite. Nature Phys 3, 623–627 (2007).

[5] Yan-Yang Zhang et al, Three-dimensional topological insulator in a magnetic field: chiral side surface states and quantized Hall conductance, J. Phys.: Condens. Matter 24 015004 (2012).

[6] Yin, LJ., Bai, KK., Wang, WX. et al. Landau quantization of Dirac fermions in graphene and its multilayers. Front. Phys. 12, 127208 (2017).

[7] A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov, and A. K. Geim, The electronic properties of graphene, Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009).

[8] http://web.physics.ucsb.edu/~phys123B/w2015/lecture5.pdf

[9] 季燕江《量子力学讲义》的4.2节、6.5节、8.3节

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5 thoughts on “狄拉克电子朗道能级的根号N分布”

  1. 老师您好,我想请问一下狄拉克电子的最小哈密顿量是怎么写出来的呢?在哪些课本上有这方面的知识点吗?

      1. 老师您好,我想问一下推导过程中,当E≠0时,第二条式子中为什么掉了一项eBy·ihk_y呢?

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