狄拉克电子朗道能级的根号N分布

狄拉克电子最小哈密顿量：

$H=v_F \hbar (k_x \sigma_x+k_y \sigma_y)$

磁场沿着 $z$ 方向，选取朗道规范（Landau gauge）：

$\overrightarrow{A}=(-By, 0, 0)$

加磁场后，薛定谔方程写为：

$v_F \begin{pmatrix} 0 & \hbar k_x+eBy-i \hbar k_y \\\hbar k_x+eBy+i \hbar k_y & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\psi_A \\ \psi_B \end{pmatrix}=E \begin{pmatrix}\psi_A \\ \psi_B \end{pmatrix}$

当 $E\neq 0$ 时：

$v_F^2 ( \hbar k_x+eBy-i\hbar k_y)(\hbar k_x+eBy+i \hbar k_y)\psi_A=E^2 \psi_A$

$v_F^2 [(\hbar k_x+eBy)^2+(\hbar k_y)^2-eB\hbar]\psi_A=E^2 \psi_A$

其中，算符:

$\begin{aligned} k_x&=-i\frac{\partial}{\partial x}\\k_y&=-i\frac{\partial}{\partial y}\end{aligned}$

此外，波函数可以写为：

$\psi_A=e^{ikx}f(y)$

代入薛定谔方程，得到：

$v_F^2 [( -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}+eBy)^2+(-i \hbar \frac{\partial}{\partial y})^2-eB\hbar]e^{ikx}f(y)=E^2 e^{ikx}f(y)$

$[-\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2} +(\hbar k+eBy)^2-eB\hbar]f(y)=\frac{E^2}{v_F^2} f(y)$

$\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(y)+[\frac{E^2}{v_F^2 \hbar^2}-(k+\frac{eBy}{\hbar})^2+\frac{eB}{\hbar}]f(y)=0$

为了得到标准谐振子方程：

$\frac{\partial ^2}{\partial \xi^2}f(\xi)+(\lambda-\xi^2})f(\xi)=0$

变量替换：

$\begin{aligned} \xi &= ay+b \\ \lambda&=cE^2+d\end{aligned}$

代入，得到：

$a^2 \frac{\partial^2}{\partial \xi^2}f(\xi)+[\frac{\frac{\lambda-d}{c}}{v_F^2 \hbar^2}-(k+\frac{eB\frac{\xi-b}{a}}{\hbar})^2+\frac{eB}{\hbar}]f(\xi)=0$

$\frac{\partial^2}{\partial \xi^2}f(\xi)+[\frac{\frac{\lambda-d}{c}}{v_F^2 \hbar^2 a^2}-(\frac{k}{a}+\frac{eB(\xi-b)}{ \hbar a^2})^2+\frac{eB}{\hbar a^2}]f(\xi)=0$

通过观察，参数选为：

$\begin{aligned} a&=\sqrt{\frac{eB}{\hbar}} \\ b&=\frac{k}{a}=\frac{k}{\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}}\\c&=\frac{1}{v_F^2 \hbar^2 a^2}=\frac{1}{v_F^2 \hbar e B}\\d&=1\end{aligned}$

即变量替换为：

$\begin{aligned} \xi &= \sqrt{\frac{eB}{\hbar}}y+\frac{k}{\sqrt{\frac{eB}{\hbar}}} \\\lambda&=\frac{1}{v_F^2 \hbar e B} E^2+1\end{aligned}$

标准谐振子方程的解为： $\lambda=2n+1$ ，即 $E=\pm \sqrt{2e \hbar v_F^2 n B}$

波函数用厄密多项式表示，这里略。

前面考虑的是 $E\neq 0$ 的情况。当 $E=0$ 时，代入原方程，仍然是方程的解，波函数要单独推导。

此外，朗道能级还可以用粒子数算符来求解：用粒子数算符求解朗道能级。

参考资料：

[1] 广州大学Prof. Yanyang Zhang课堂笔记

[2] J. W. McClure, Diamagnetism of Graphite, Phys. Rev. 104, 666 (1956).

[3] Nguyen Hong Shon, and Tsuneya Ando, Quantum Transport in Two-Dimensional Graphite System, J. Phys. Soc. Jpn. 67, pp. 2421-2429 (1998).

[4] Li, G., Andrei, E. Observation of Landau levels of Dirac fermions in graphite. Nature Phys 3, 623–627 (2007).

[5] Yan-Yang Zhang et al, Three-dimensional topological insulator in a magnetic field: chiral side surface states and quantized Hall conductance, J. Phys.: Condens. Matter 24 015004 (2012).

[6] Yin, LJ., Bai, KK., Wang, WX. et al. Landau quantization of Dirac fermions in graphene and its multilayers. Front. Phys. 12, 127208 (2017).

[7] A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov, and A. K. Geim, The electronic properties of graphene, Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009).

[8] http://web.physics.ucsb.edu/~phys123B/w2015/lecture5.pdf

[9] 季燕江《量子力学讲义》的4.2节、6.5节、8.3节

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7 thoughts on “狄拉克电子朗道能级的根号N分布”

王柏程说道：

2023年6月3日 18:53

老师,您这里如果解的是Ψ_B的话好像就会出现没有零能级的情况，这该怎么解释呢？

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1. guanjihuan说道：
  
  2023年6月4日 00:34
  
  我也不大清楚。应该不会不一样吧，好像是对称的。
  
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陈灼华说道：

2022年10月26日 16:44

老师您好，我想请问一下狄拉克电子的最小哈密顿量是怎么写出来的呢？在哪些课本上有这方面的知识点吗？

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1. guanjihuan说道：
  
  2022年10月26日 21:46
  
  其实形式不是唯一的，只要本征值是线性的就可以。只是用泡利矩阵来写，这样是最简洁和直接的。
  参考：
  [1] 由泡利矩阵组成的哈密顿量的本征值
  [2] 石墨烯紧束缚模型到低能有效模型的推导
  
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  1. 匿名说道：
    
    2022年10月28日 11:41
    
    老师您好，我想问一下推导过程中，当E≠0时，第二条式子中为什么掉了一项eBy·ihk_y呢？
    
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    1. guanjihuan说道：
      
      2022年10月28日 13:35
      
      用到位置和动量的对易关系。
      
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      1. 匿名说道：
        
        2022年10月28日 19:28
        
        明白了，谢谢老师
        
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