模型和能带, 学术

泡利矩阵以及泡利矩阵的张量积

1. 单位矩阵:

\sigma_0=\begin{pmatrix}     1 & 0  \\      0 & 1 \\ \end{pmatrix}

2. 泡利矩阵:

 \sigma_x=\begin{pmatrix}     0 & 1  \\      1 & 0 \\  \end{pmatrix} \quad \sigma_y=\begin{pmatrix}     0 & -i  \\      i & 0 \\  \end{pmatrix} \quad \sigma_z=\begin{pmatrix}     1 & 0  \\      0 & -1 \\  \end{pmatrix}

3. 泡利矩阵性质

\sigma_{x}^{2}=\sigma_{y}^{2}=\sigma_{z}^{2}=1

\sigma_x \cdot \sigma_y =i \sigma_z

\sigma_y \cdot \sigma_z =i \sigma_x

\sigma_z \cdot \sigma_x =i \sigma_y

对易关系:

[\sigma_x, \sigma_y]=\sigma_x \cdot \sigma_y-\sigma_y \cdot \sigma_x=2i\sigma_z

[\sigma_y, \sigma_z]=\sigma_y \cdot \sigma_z-\sigma_z \cdot \sigma_y=2i\sigma_x

[\sigma_z, \sigma_x]=\sigma_z \cdot \sigma_x-\sigma_x \cdot \sigma_z=2i\sigma_y

反对易关系:

\{\sigma_x, \sigma_y\}=\sigma_x \cdot \sigma_y+\sigma_y \cdot \sigma_x=0

\{\sigma_y, \sigma_z\}=\sigma_y \cdot \sigma_z+\sigma_z \cdot \sigma_y=0

\{\sigma_z, \sigma_x\}=\sigma_z \cdot \sigma_x+\sigma_x \cdot \sigma_z=0

4. 矩阵的张量积(或称为Kronecker积)的定义:

该图片来源于参考资料【2】

也就是将“张量积符号后面的那个矩阵”扔到“张量积符号前面那个矩阵”的各个元素中。

需要说明的是:

  • Kronecker积是张量积的特殊形式[3]。
  • 在物理中说直积,通常讲的就是张量积。但在数学上直积和张量积还是有区别的,看参考资料[4]。

5. 泡利矩阵的张量积(两套矩阵的符号分别是\tau\sigma,空白处代表零元素):

(1)张量积符号前面是\tau_0

\tau_0 \otimes\sigma_0=\begin{pmatrix}     1 & 0 &      &      \\      0 & 1 &      &      \\        &    &  1  &  0  \\        &    &   0  & 1 \end{pmatrix}

\tau_0 \otimes\sigma_x=\begin{pmatrix}     0 & 1 &       &      \\      1 & 0 &       &      \\        &    &   0  &  1  \\        &    &   1  &  0 \end{pmatrix}

\tau_0 \otimes\sigma_y=\begin{pmatrix}     0 & -i &       &      \\      i  & 0 &       &      \\        &    &   0  &  -i  \\        &    &   i  &  0 \end{pmatrix}

\tau_0 \otimes\sigma_z=\begin{pmatrix}     1 & 0 &       &      \\      0 & -1 &       &      \\        &    &   1  &  0  \\        &    &   0  &  -1 \end{pmatrix}

(2)张量积符号前面是\tau_x

\tau_x \otimes\sigma_0=\begin{pmatrix}      &    &   1   &  0    \\       &    &   0   &  1   \\   1  &   0 &     &       \\   0   &  1  &     &  \end{pmatrix}

\tau_x \otimes\sigma_x=\begin{pmatrix}      &    &    0  &  1    \\       &    &   1   &  0   \\    0  &  1  &     &       \\    1  &  0  &     &  \end{pmatrix}

\tau_x \otimes\sigma_y=\begin{pmatrix}      &    &    0  &   -i   \\       &    &    i  &  0   \\    0  &  -i  &     &       \\    i  &   0 &     &  \end{pmatrix}

\tau_x \otimes\sigma_z=\begin{pmatrix}      &    &   1   &  0    \\       &    &   0   &  -1   \\   1   &   0 &     &       \\    0  &  -1  &     &  \end{pmatrix}

(3)张量积符号前面是\tau_y(这里为了更直观些,中间多写了一步):

\tau_y \otimes\sigma_0= \begin{pmatrix}   0   &   -i\sigma_0   \\    i\sigma_0   &   0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}      &    &   -i   &  0    \\       &    &   0   &  -i   \\   i  &   0 &     &       \\   0   &  i  &     &  \end{pmatrix}

\tau_y \otimes\sigma_x= \begin{pmatrix}   0   &   -i\sigma_x   \\    i\sigma_x   &   0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}      &    &   0   &  -i    \\       &    &   -i   &  0   \\   0  &   i &     &       \\   i   &  0  &     &  \end{pmatrix}

\tau_y \otimes\sigma_y= \begin{pmatrix}   0   &   -i\sigma_y   \\    i\sigma_y   &   0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}      &    &   0   &  -1    \\       &    &   1   &  0   \\   0  &   1 &     &       \\   -1   &  0  &     &  \end{pmatrix}

\tau_y \otimes\sigma_z= \begin{pmatrix}   0   &   -i\sigma_z   \\    i\sigma_z   &   0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}      &    &   -i   &  0    \\       &    &   0   &  i   \\   i  &   0 &     &       \\   0   &  -i  &     &  \end{pmatrix}

(4)张量积符号前面是\tau_z (这里为了更直观些,中间多写了一步) :

\tau_z \otimes\sigma_0= \begin{pmatrix}    \sigma_0    &   0   \\    0   &    -\sigma_0  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}     1  &  0  &     &      \\      0 &  1  &      &      \\      &    &   -1  &   0    \\      &    &   0  &   -1 \end{pmatrix}

\tau_z \otimes\sigma_x= \begin{pmatrix}    \sigma_x    &   0   \\    0   &    -\sigma_x  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}     0  &  1  &     &      \\      1 & 0  &      &      \\      &    &   0  &   -1    \\      &    &   -1  &   0 \end{pmatrix}

\tau_z \otimes\sigma_y= \begin{pmatrix}    \sigma_y    &   0   \\    0   &    -\sigma_y  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}     0  &  -i  &     &      \\      i &  0  &      &      \\      &    &   0  &   i    \\      &    &   -i  &   0 \end{pmatrix}

\tau_z \otimes\sigma_z= \begin{pmatrix}    \sigma_z    &   0   \\    0   &    -\sigma_z  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}     1  &  0  &     &      \\      0 &  -1  &      &      \\      &    &   -1  &   0    \\      &    &   0  &   1 \end{pmatrix}

参考资料:

[1] 百度百科:泡利矩阵

[2] 百度文库:矩阵直积

[3] 百度百科:克罗内克积

[4] [张量系列DLC] 直积和张量积有何区别? 矩阵和矩阵的张量积怎么还是个矩阵?

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