模型和能带, 学术

离散格子的傅里叶变换和反傅里叶变换

傅里叶变换:

|x\rangle=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_{k}e^{ikx}|k\rangle

反傅里叶变换:

|k\rangle =\frac{1}{\sqrt{N}}\sum \limits_{x}e^{-ikx}|x\rangle

1. 一维链的傅里叶变换过程

\begin{aligned}H&=\sum_{<x,x'>} t |x'\rangle \langle x|  \\&=\sum_{x} \big( t |x+a\rangle \langle x| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{x} \big[ t \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{ik'(x+a)}|k'\rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{-ikx}\langle k|+ \mathrm{H.c.}\big]\\&=\sum_{x}  \big[ t\frac{1}{N}\sum_{k, k'}e^{i(k'-k)x+ik'a} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'}  \big[ t e^{ik'a} \frac{1}{N}\sum_{x}e^{i(k'-k)x} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'}  \big( t e^{ik'a} \delta_{k',k} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k} \big( t e^{ika}  |k\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k} 2t\cos(ka) |k\rangle \langle k|\end{aligned}

2. 一维链的反傅里叶变换过程

\begin{aligned}&\quad \sum_{k}2t\cos(ka)|k\rangle\langle k| \\&=\sum_{k} t(e^{ika}+e^{-ika}) \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x'}e^{-ikx'}|x'\rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x}e^{ikx}\langle x|\\&=\sum_{k} t(e^{ika}+e^{-ika})\frac{1}{N}\sum_{x,x'}e^{ik(x-x')}|x'\rangle\langle x| \\&=t \sum_{x,x'} [ \frac{1}{N} \sum_{k} (e^{ika}+e^{-ika}) e^{ik(x-x')} ] |x'\rangle \langle x| \\&=t \sum_{x,x'} [ \frac{1}{N} \sum_{k} e^{ik(x-x'+a)}+ \frac{1}{N} \sum_{k} e^{ik(x-x'-a)} ] |x'\rangle \langle x| \\&=t \sum_{x,x'} [\delta_{x+a,x'}+ \delta_{x, x'+a} ] |x'\rangle \langle x| \\&=t \sum_{<x,x'>} |x'\rangle \langle x|\end{ aligned }

3. 准一维条带(ribbon)的傅里叶变换过程

如果已知倒空间的哈密顿量,需要把k空间的哈密顿量反傅里叶变换到实空间中,得到跃迁项。而如果已知实空间的哈密顿量,那么就不用做这个步骤,直接可知跃迁项。

考虑准一维情况(有一定宽度,并且在某个方向上无限长),这时的元胞(最小重复单元)会变大。选定一组编号,把元胞当成整体,沿一个方向傅里叶变换(相当于沿一条链做傅里叶变换了),求本征值即可得到色散关系。

以准一维方格子为例,如下图所示:

其中红色虚线包围的是最小重复单元(这里圈出两个元胞)。

傅里叶变换的具体过程如下(元胞间的跃迁矩阵为H_{01}):

\begin{aligned}H&=\sum_{x} \big(H_{01} |x+a\rangle \langle x| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{x} \big[H_{01} \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{ik'(x+a)}|k'\rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{-ikx}\langle k|+ \mathrm{H.c.}\big]\\&=\sum_{x}  \big[ H_{01}\frac{1}{N}\sum_{k, k'}e^{i(k'-k)+ik'a} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'}  \big[ H_{01} e^{ik'a} \frac{1}{N}\sum_{x}e^{i(k'-k)} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'}  \big( H_{01} e^{ik'a} \delta_{k',k} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k} \big( H_{01} e^{ika}  |k\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k}\big(H_{01} e^{ika}+H_{01}^{\dagger}e^{-ika} \big) |k\rangle \langle k|\end{aligned}

如果H_{01}t,则变回2tcos(ka)的形式。

此外,还要考虑元胞内部的哈密顿量H_{00}。这里省略了过程,结果如下:

H=\sum \limits_{x} H_{00} |x\rangle \langle x|\Rightarrow H=\sum \limits_{k}H_{00} |k\rangle \langle k|

代码例子:准一维方格子能带图(附Python代码)

注:傅里叶变换时坐标可以用实际原子坐标,也可以用元胞坐标。用原子坐标时,傅里叶变量元胞内有些跃迁项会增加相位,即 e^{ika_{in}};而用元胞坐标时,傅里叶变换元胞内就没有增加相位,即e^{0}。两种方法计算的结果是一样的,但建议用元胞坐标,会更方便些,尤其是当元胞比较大的时候会简单很多。 参考:以SSH模型为例子说明两种傅里叶变换方法

4. 二维情况(两个方向上同时傅里叶变换)

(1) 正方格子哈密顿量的傅里叶变换

(2)石墨烯哈密顿量的傅里叶变换

(课件截图上传已经征求原作者同意)

5. 在离散晶格中傅里叶变换常见的形式

(1)最近邻跃迁

\begin{aligned}\sum_{k} \cos(ka)|k\rangle\langle k| \quad  &\Leftrightarrow  \quad  \sum_{<x,x'>} \frac{1}{2} |x'\rangle \langle x|  \\\sum_{k} \sin(ka)|k\rangle\langle k| \quad  &\Leftrightarrow  \quad  \sum_{<x,x'>} \frac{-i}{2} |x'\rangle \langle x| \end{aligned}

(2)次近邻跃迁:

   \begin{aligned}    \sum_{k}\cos(2ka)|k\rangle\langle k| \quad &\Leftrightarrow  \quad  \sum_{<<x,x'>>} \frac{1}{2} |x'\rangle \langle x|  \\    \sum_{k} \sin(2ka)|k\rangle\langle k| \quad  &\Leftrightarrow  \quad  \sum_{<<x,x'>>} \frac{-i}{2} |x'\rangle \langle x| \end{aligned}

(3)斜对角跃迁:

 \begin{aligned}&  \sum_{k} \cos(k_{x}a)\cos(k_{y}a) |k_x, k_y\rangle\langle k_x, k_y|   \\  &\Leftrightarrow    \sum_{x,y} \frac{1}{4}  \big( |x,y\rangle \langle x+a,y+a| +  |x,y\rangle \langle x+a,y-a| + \mathrm{H.c.}\big)\end{aligned}

    \begin{aligned}&  \sum_{k} \sin(k_{x}a)\sin(k_{y}a) |k_x, k_y\rangle\langle k_x, k_y|\\   &\Leftrightarrow  \sum_{x,y} \frac{-1}{4}  \big( |x,y\rangle \langle x+a,y+a| -  |x,y\rangle \langle x+a,y-a| + \mathrm{H.c.}\big)  \end{aligned}

   \begin{aligned} & \sum_{k} \sin(k_{y}a)\cos(k_{x}a) |k_x, k_y\rangle\langle k_x, k_y|  \\ &\Leftrightarrow    \sum_{x,y} \frac{-i}{4}  \big( |x,y\rangle \langle x+a,y+a| -  |x,y\rangle \langle x+a,y-a| + \mathrm{H.c.}\big)    \end{aligned}

其他参考资料:

[1] 如何通俗地解释什么是离散傅里叶变换?

[2] Fourier Series, Fourier Transforms and the Delta Function

[3] Fourier transform 总结

[4] 六角蜂窝格子紧束缚模型的计算

[5] Ji-Huan Guan博士学位论文

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81 thoughts on “离散格子的傅里叶变换和反傅里叶变换”

  1. 可以的话能分享一下张老师课件吗,麻烦啦
    另外笔记中石墨烯部分似乎有些问题,不过还是能看明白的

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