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离散格子的傅里叶变换和反傅里叶变换

发布时间：

最近修改时间：2023年4月19日

傅里叶变换：

|x⟩=1N∑keikx|k⟩|x\rangle=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_{k}e^{ikx}|k\rangle

反傅里叶变换：

|k⟩=1N∑xe−ikx|x⟩|k\rangle =\frac{1}{\sqrt{N}}\sum \limits_{x}e^{-ikx}|x\rangle

1. 一维链的傅里叶变换过程

H=∑<x,x′>t|x′⟩⟨x|=∑x(t|x+a⟩⟨x|+H.c.)=∑x[t1N∑keik′(x+a)|k′⟩1N∑ke−ikx⟨k|+H.c.]=∑x[t1N∑k,k′ei(k′−k)x+ik′a|k′⟩⟨k|+H.c.]=∑k,k′[teik′a1N∑xei(k′−k)x|k′⟩⟨k|+H.c.]=∑k,k′(teik′aδk′,k|k′⟩⟨k|+H.c.)=∑k(teika|k⟩⟨k|+H.c.)=∑k2tcos(ka)|k⟩⟨k|\begin{aligned}H&=\sum_{<x,x'>} t |x'\rangle \langle x| \\&=\sum_{x} \big( t |x+a\rangle \langle x| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{x} \big[ t \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{ik'(x+a)}|k'\rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{-ikx}\langle k|+ \mathrm{H.c.}\big]\\&=\sum_{x} \big[ t\frac{1}{N}\sum_{k, k'}e^{i(k'-k)x+ik'a} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'} \big[ t e^{ik'a} \frac{1}{N}\sum_{x}e^{i(k'-k)x} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'} \big( t e^{ik'a} \delta_{k',k} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k} \big( t e^{ika} |k\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k} 2t\cos(ka) |k\rangle \langle k|\end{aligned}

2. 一维链的反傅里叶变换过程

∑k2tcos(ka)|k⟩⟨k|=∑kt(eika+e−ika)1N∑x′e−ikx′|x′⟩1N∑xeikx⟨x|=∑kt(eika+e−ika)1N∑x,x′eik(x−x′)|x′⟩⟨x|=t∑x,x′[1N∑k(eika+e−ika)eik(x−x′)]|x′⟩⟨x|=t∑x,x′[1N∑keik(x−x′+a)+1N∑keik(x−x′−a)]|x′⟩⟨x|=t∑x,x′[δx+a,x′+δx,x′+a]|x′⟩⟨x|=t∑<x,x′>|x′⟩⟨x|\begin{aligned}&\quad \sum_{k}2t\cos(ka)|k\rangle\langle k| \\&=\sum_{k} t(e^{ika}+e^{-ika}) \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x'}e^{-ikx'}|x'\rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x}e^{ikx}\langle x|\\&=\sum_{k} t(e^{ika}+e^{-ika})\frac{1}{N}\sum_{x,x'}e^{ik(x-x')}|x'\rangle\langle x| \\&=t \sum_{x,x'} [ \frac{1}{N} \sum_{k} (e^{ika}+e^{-ika}) e^{ik(x-x')} ] |x'\rangle \langle x| \\&=t \sum_{x,x'} [ \frac{1}{N} \sum_{k} e^{ik(x-x'+a)}+ \frac{1}{N} \sum_{k} e^{ik(x-x'-a)} ] |x'\rangle \langle x| \\&=t \sum_{x,x'} [\delta_{x+a,x'}+ \delta_{x, x'+a} ] |x'\rangle \langle x| \\&=t \sum_{<x,x'>} |x'\rangle \langle x|\end{aligned}

3. 准一维条带（ribbon）的傅里叶变换过程

如果已知倒空间的哈密顿量，需要把k空间的哈密顿量反傅里叶变换到实空间中，得到跃迁项。而如果已知实空间的哈密顿量，那么就不用做这个步骤，直接可知跃迁项。

考虑准一维情况（有一定宽度，并且在某个方向上无限长），这时的元胞（最小重复单元）会变大。选定一组编号，把元胞当成整体，沿一个方向傅里叶变换（相当于沿一条链做傅里叶变换了），求本征值即可得到色散关系。

以准一维方格子为例，如下图所示：

其中红色虚线包围的是最小重复单元（这里圈出两个元胞）。

傅里叶变换的具体过程如下（元胞间的跃迁矩阵为H01H_{01}）：

H=∑x(H01|x+a⟩⟨x|+H.c.)=∑x[H011N∑keik′(x+a)|k′⟩1N∑ke−ikx⟨k|+H.c.]=∑x[H011N∑k,k′ei(k′−k)+ik′a|k′⟩⟨k|+H.c.]=∑k,k′[H01eik′a1N∑xei(k′−k)|k′⟩⟨k|+H.c.]=∑k,k′(H01eik′aδk′,k|k′⟩⟨k|+H.c.)=∑k(H01eika|k⟩⟨k|+H.c.)=∑k(H01eika+H01†e−ika)|k⟩⟨k|\begin{aligned}H&=\sum_{x} \big(H_{01} |x+a\rangle \langle x| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{x} \big[H_{01} \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{ik'(x+a)}|k'\rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{-ikx}\langle k|+ \mathrm{H.c.}\big]\\&=\sum_{x} \big[ H_{01}\frac{1}{N}\sum_{k, k'}e^{i(k'-k)+ik'a} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'} \big[ H_{01} e^{ik'a} \frac{1}{N}\sum_{x}e^{i(k'-k)} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'} \big( H_{01} e^{ik'a} \delta_{k',k} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k} \big( H_{01} e^{ika} |k\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k}\big(H_{01} e^{ika}+H_{01}^{\dagger}e^{-ika} \big) |k\rangle \langle k|\end{aligned}

如果H01H_{01}为tt，则变回2tcos(ka)2tcos(ka)的形式。

此外，还要考虑元胞内部的哈密顿量H00H_{00}。这里省略了过程，结果如下：

H=∑xH00|x⟩⟨x|⇒H=∑kH00|k⟩⟨k|H=\sum \limits_{x} H_{00} |x\rangle \langle x|\Rightarrow H=\sum \limits_{k}H_{00} |k\rangle \langle k|

代码例子：准一维方格子能带图（附Python代码）。

注：傅里叶变换时坐标可以用实际原子坐标，也可以用元胞坐标。用原子坐标时，傅里叶变量元胞内有些跃迁项会增加相位，即eikaine^{ika_{in}}；而用元胞坐标时，傅里叶变换元胞内就没有增加相位，即e0e^{0}。两种方法计算的结果是一样的，但建议用元胞坐标，会更方便些，尤其是当元胞比较大的时候会简单很多。 参考：以SSH模型为例子说明两种傅里叶变换方法。

4. 二维情况（两个方向上同时傅里叶变换）

（1） 正方格子哈密顿量的傅里叶变换

（2）石墨烯哈密顿量的傅里叶变换

（课件截图上传已经征求原作者同意。课件的主要技术内容就这两页。）

5. 在离散晶格中傅里叶变换常见的形式

（1）最近邻跃迁

∑kcos(ka)|k⟩⟨k|⇔∑<x,x′>12|x′⟩⟨x|∑ksin(ka)|k⟩⟨k|⇔∑<x,x′>−i2|x′⟩⟨x|\begin{aligned}\sum_{k} \cos(ka)|k\rangle\langle k| \quad &\Leftrightarrow \quad \sum_{<x,x'>} \frac{1}{2} |x'\rangle \langle x| \\\sum_{k} \sin(ka)|k\rangle\langle k| \quad &\Leftrightarrow \quad \sum_{<x,x'>} \frac{-i}{2} |x'\rangle \langle x| \end{aligned}

（2）次近邻跃迁：

∑kcos(2ka)|k⟩⟨k|⇔∑<<x,x′>>12|x′⟩⟨x|∑ksin(2ka)|k⟩⟨k|⇔∑<<x,x′>>−i2|x′⟩⟨x|\begin{aligned} \sum_{k}\cos(2ka)|k\rangle\langle k| \quad &\Leftrightarrow \quad \sum_{<<x,x'>>} \frac{1}{2} |x'\rangle \langle x| \\ \sum_{k} \sin(2ka)|k\rangle\langle k| \quad &\Leftrightarrow \quad \sum_{<<x,x'>>} \frac{-i}{2} |x'\rangle \langle x| \end{aligned}

（3）斜对角跃迁：

∑kcos(kxa)cos(kya)|kx,ky⟩⟨kx,ky|⇔∑x,y14(|x,y⟩⟨x+a,y+a|+|x,y⟩⟨x+a,y−a|+H.c.)\begin{aligned}& \sum_{k} \cos(k_{x}a)\cos(k_{y}a) |k_x, k_y\rangle\langle k_x, k_y| \\ &\Leftrightarrow \sum_{x,y} \frac{1}{4} \big( |x,y\rangle \langle x+a,y+a| + |x,y\rangle \langle x+a,y-a| + \mathrm{H.c.}\big)\end{aligned}
∑ksin(kxa)sin(kya)|kx,ky⟩⟨kx,ky|⇔∑x,y−14(|x,y⟩⟨x+a,y+a|−|x,y⟩⟨x+a,y−a|+H.c.)\begin{aligned}& \sum_{k} \sin(k_{x}a)\sin(k_{y}a) |k_x, k_y\rangle\langle k_x, k_y|\\ &\Leftrightarrow \sum_{x,y} \frac{-1}{4} \big( |x,y\rangle \langle x+a,y+a| - |x,y\rangle \langle x+a,y-a| + \mathrm{H.c.}\big) \end{aligned}
∑ksin(kya)cos(kxa)|kx,ky⟩⟨kx,ky|⇔∑x,y−i4(|x,y⟩⟨x+a,y+a|−|x,y⟩⟨x+a,y−a|+H.c.)\begin{aligned} & \sum_{k} \sin(k_{y}a)\cos(k_{x}a) |k_x, k_y\rangle\langle k_x, k_y| \\ &\Leftrightarrow \sum_{x,y} \frac{-i}{4} \big( |x,y\rangle \langle x+a,y+a| - |x,y\rangle \langle x+a,y-a| + \mathrm{H.c.}\big) \end{aligned}

其他参考资料：

[1] 如何通俗地解释什么是离散傅里叶变换？

[2] Fourier Series, Fourier Transforms and the Delta Function

[3] Fourier transform 总结（新链接：https://zqw.ink/posts/2018-09-07-physics-Fourier%20transform%20总结.html，失效链接：https://zqw.ink/2018/09/07/Fourier transform 总结/）

[4] 六角蜂窝格子紧束缚模型的计算

[5] Ji-Huan Guan博士学位论文

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