学术, 其他笔记

粒子-空穴对称性 Particle-Hole Symmetry

1. 定义

粒子-空穴对称性体系的哈密顿量满足:

\hat{P}\hat{H}\hat{P}^{\dagger}=-\hat{H}

其中,\hat{P}为反幺正算符。对于两带体系,粒子-空穴对称性(particle-hole symmetry)算符可以写为\hat{P}=\sigma_x KK是取复数的算符;\sigma_x是泡利矩阵 ,作用在粒子和空穴的矩阵元或子矩阵上。关于反幺正算符可以参照这篇:时间反演算符 Time Reversal Operator

粒子-空穴对称性一般出现在超导中。BdG( Bogoliubov-de Gennes)模型的哈密顿量为

\hat{H}_{BdG}=\begin{pmatrix}H  &  \Delta\\-\Delta^{*}   &  -H^{*}\\\end{pmatrix}

该哈密顿量完全满足粒子-空穴对称性。泡利矩阵作用在矩阵上可参考这篇:矩阵两边乘上向量或者泡利矩阵后的形式\sigma_x的作用使得:矩阵对角线的两个元素互换,非对角线的两个元素互换。此外,再考虑上取复数算符K的作用。

2. 能谱

手征对称性 Chiral Symmetry类似,满足粒子-空穴对称性的体系也有上下对称的能带。

假设|\psi \rangle为具有粒子-空穴对称性的哈密顿量的波函数,对应本征值为E,即

\hat{H}|\psi \rangle=E|\psi \rangle

那么\hat{P}|\psi \rangle也是该哈密顿量的波函数,且对应的本征值为-E,这是因为

\hat{H}\hat{P}|\psi \rangle=-\hat{P}\hat{H}|\psi \rangle=-\hat{P} E|\psi \rangle=-E \hat{P} |\psi \rangle

其中,第一步推导用到了上面粒子-空穴对称性的定义。

3. 总结

Time-reversal symmetry (T), particle-hole symmetry (P) and chiral symmetry (C) [3,4,5]:

其他:Rice-Mele模型

从SSH模型可以推广到Rice-Mele模型,Rice-Mele哈密顿量写为

\hat{H}(k)=\begin{pmatrix} m & h(k)\\ h^*(k) & -m\\ \end{pmatrix}, \quad h(k)=d_x-id_y

Rice-Mele模型满足时间反演对称性,不满足手征对称性和粒子空穴对称性,但它的能带也是上下对称的。

关于Rice-Mele模型的对称性可以阅读这篇文献(由马超同学提供):Topological features of ground states and topological solitons in generalized Su-Schrieffer-Heeger models using generalized time-reversal, particle-hole, and chiral symmetries。在这篇文献中给出的是:PT-symmetric particle-hole and chiral symmetry. 文献截图为:

说明:之前在这里贴出的内容有误,已做删除,感谢马超同学提供的文献和讨论。

参考资料:

[1] https://topocondmat.org/w1_topointro/0d.html

[2] A Short Course on Topological Insulators: Band-structure topology and edge states in one and two dimensions

[3] https://topocondmat.org/w8_general/classification.html

[4] 手征对称性 Chiral Symmetry

[5] 时间反演算符 Time Reversal Operator

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8 thoughts on “粒子-空穴对称性 Particle-Hole Symmetry”

  1. 粒子空穴对称性是,电子和空穴互换后,系统保持不变,为什么这里哈密顿量前面要取负数

  2. 请问知道对称性所满足的形式后(比如P*H*P'=-H),如何得到矩阵的具体形式(P=sigma_x*K)呢,不同模型下这个幺正矩阵的形式会不同吗

    1. 好像不是唯一的,跟模型有关。对于BdG模型,粒子-空穴对称算符是这个表达式P=sigma_x*K。对于某个模型,具体怎么得到这个表达式, 我也没做过深入调研和研究。

        1. 嗯,BdG模型就是一个超导模型。说到粒子-空穴对称性,比较多的是谈到超导模型,因为有库伯对,电子和空穴是等价的。
          其他的模型可以查下文献看看,我也不了解。物理图像是清楚的,但具体表达式得根据哈密顿量的具体形式来讨论。

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