介观体系中的Landauer–Büttiker公式

在介观体系中，两端口的电导由Landauer公式给出[1]：

$G=\frac{e^2}{h}T$

其中， $T$ 表示电子的透射几率（transmission）。

推广到多端口体系，有Landauer–Büttiker公式[1]：

$\begin{aligned}I_{i}&=\frac{e^2}{h}\sum_{j}(T_{j,i}V_{i}-T_{i,j}V_{j})\\&=\sum_{j}(G_{j,i}V_{i}-G_{i,j}V_{j})\end{aligned}$

其中， $T_{j,i}$ 也可以写为 $T_{j\leftarrow i}$ ，表示的是从第 $i$ 个端口散射到第 $j$ 个端口的几率。

一、四端口

以四端口体系为例，上面的公式可以写为矩阵形式：

$\begin{pmatrix}I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}G_{12}+G_{13}+G_{14} & -G_{12} & -G_{13} & -G_{14} \\-G_{21} & G_{21}+G_{23}+G_{24} & -G_{23} & -G_{24} \\-G_{31} & -G_{32} & G_{31}+G_{32}+G_{34} & -G_{34} \\-G_{41} & -G_{42} & -G_{43} & G_{41}+G_{42}+G_{43}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ V_4\end{pmatrix}$

其中矩阵对角线上用到了以下关系：

$\sum_{j}G_{ji}=\sum_{j}G_{ij}$

该关系式的证明如下：当所有电极的电压都相等时，在 $i$ 端的电极的电流 $I_{i}$ 应为零，代入Landauer–Büttiker公式，证毕。

电极形状可定义为：

lead2
lead1 lead3
lead4

一般可令 $V_3=0$ ， $I_2=I_4=0$ 。表达式写为：

$\begin{pmatrix} I_1 \\ 0 \\ I_3 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}G_{12}+G_{13}+G_{14} & -G_{12} & -G_{13} & -G_{14} \\-G_{21} & G_{21}+G_{23}+G_{24} & -G_{23} & -G_{24} \\-G_{31} & -G_{32} & G_{31}+G_{32}+G_{34} & -G_{34} \\-G_{41} & -G_{42} & -G_{43} & G_{41}+G_{42}+G_{43}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ 0 \\ V_4\end{pmatrix}$

在强磁场下（朗道能级）或只存在边缘态的情况下，假设电流只有从1->2->3->4->1这个过程，以上可化简为：

$\begin{pmatrix} I_1 \\ 0 \\ I_3 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}G & 0 & 0 & -G \\-G & G & 0 & 0 \\0 & -G & G & 0 \\0 & 0 & -G & G\end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ 0 \\ V_4\end{pmatrix}$

其中， $G=\frac{2e^2M}{h}$ 。“2”来源于电子的自旋自由度，“M”表示通道数。

展开得：

$\begin{aligned} I_1 &= G V_1-GV_4\\0 & = -G V_1 + G V_2\\I_3 & = -G V_2\\0 & = GV_4\end{aligned}$

得到： $V_1=V_2$ ， $V_4=0$ ， $I_1=-I_3 = G V_1$ 。

所以霍尔电阻： $R_H=\frac{V_2-V_4}{I_1}=\frac{1}{G}$ 。

二、六端口

以下考虑六端口。公式显示比较小，可在公式上右键，选择“在新标签页中打开图像”。

六端口的形式：

$\begin{pmatrix}I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}G_{12}+G_{13}+G_{14} +G_{15} +G_{16} & -G_{12} & -G_{13} & -G_{14} & -G_{15} & -G_{16} \\-G_{21} & G_{21}+G_{23}+G_{24} +G_{25} +G_{26} & -G_{23} & -G_{24} & -G_{25} & -G_{26} \\-G_{31} & -G_{32} & G_{31}+G_{32}+G_{34} +G_{35} +G_{36} & -G_{34} & -G_{35} & -G_{36} \\-G_{41} & -G_{42} & -G_{43} & G_{41}+G_{42}+G_{43} +G_{45} +G_{46} & -G_{45} & -G_{46} \\-G_{51} & -G_{52} & -G_{53} & -G_{54} & G_{51}+G_{52}+G_{53} +G_{54} +G_{56} & -G_{56} \\ -G_{61} & -G_{62} & -G_{63} & -G_{64} & -G_{65} & G_{61}+G_{62}+G_{63} +G_{64} +G_{65} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ V_4 \\ V_5 \\ V_6\end{pmatrix}$

电极形状可定义为：

lead2      lead3
lead1                                lead4
lead6      lead5

一般可令 $V_4=0$ ， $I_2=I_3=I_5=I_6=0$ 。表达式写为：

$\begin{pmatrix}I_1 \\0 \\ 0 \\ I_4 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}G_{12}+G_{13}+G_{14} +G_{15} +G_{16} & -G_{12} & -G_{13} & -G_{14} & -G_{15} & -G_{16} \\-G_{21} & G_{21}+G_{23}+G_{24} +G_{25} +G_{26} & -G_{23} & -G_{24} & -G_{25} & -G_{26} \\-G_{31} & -G_{32} & G_{31}+G_{32}+G_{34} +G_{35} +G_{36} & -G_{34} & -G_{35} & -G_{36} \\-G_{41} & -G_{42} & -G_{43} & G_{41}+G_{42}+G_{43} +G_{45} +G_{46} & -G_{45} & -G_{46} \\-G_{51} & -G_{52} & -G_{53} & -G_{54} & G_{51}+G_{52}+G_{53} +G_{54} +G_{56} & -G_{56} \\ -G_{61} & -G_{62} & -G_{63} & -G_{64} & -G_{65} & G_{61}+G_{62}+G_{63} +G_{64} +G_{65} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ 0 \\ V_5 \\ V_6\end{pmatrix}$

强磁场下（朗道能级）或只存在边缘态的情况下，假设电流只有从1->2->3->4->5->6->1这个过程，以上可化简为：

$\begin{pmatrix}I_1 \\0 \\ 0 \\ I_4 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}G & 0 & 0 & 0 & 0 & -G \\-G & G & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & -G & G & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & -G & G & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & -G & G & 0 \\ 0 & 0& 0 & 0 & -G & G \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ 0 \\ V_5 \\ V_6\end{pmatrix}$

展开得：

$\begin{aligned} I_1 &= G V_1-GV_6\\0 & = -G V_1 + G V_2\\0 &=-GV_2 +GV_3\\I_4 &=-GV_3\\0 & = GV_5\\0 & = -GV_5+GV_6\end{aligned}$

得到： $V_1=V_2=V_3$ ， $V_5=V_6=0$ ， $I_1=-I_4=GV_1$ 。

所以霍尔电阻： $R_H=\frac{V_2-V_6}{I_1}= \frac{V_3-V_5}{I_1}= \frac{1}{G}$ 。

补充说明：如果没有使得某些矩阵元为零，那么推导霍尔电阻或纵向电阻似乎有点难度。

参考资料：

[1] Supriyo Datta, Electronic transport in mesoscopic systems, 2004.

[2] Three-dimensional topological insulator in a magnetic field: chiral side surface states and quantized Hall conductance

[3] https://wiki.physics.udel.edu/wiki_phys824/images/8/8c/PHYS824_lecture8_landauer_buttiker_formula.pdf

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4 thoughts on “介观体系中的Landauer–Büttiker公式”

匿名说道：

2022年11月1日 20:45

您好，对于多端口，可以是奇数的情况吗，比如3，5，是否能用kwant去计算电导，谢谢。

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1. guanjihuan说道：
  
  2022年11月1日 22:18
  
  也是可以的，按Kwant官方文档中的方法添加电极。
  
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匿名说道：

2022年10月12日 20:36

博主，对于多端口体系，任意两个端口的电导与其透射率还是(e^2/h)倍的关系么？

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1. guanjihuan说道：
  
  2022年10月13日 16:44
  
  由于存在电极的散射，所以无法达到绝对的(e^2/h)倍。如果把所有透射和反射全部加起来，还是(e^2/h)倍。
  
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