在介观体系中,两端口的电导由Landauer公式给出[1]:
其中,表示电子的透射几率(transmission)。
推广到多端口体系,有Landauer–Büttiker公式[1]:
其中,也可以写为
,表示的是从第
个端口散射到第
个端口的几率。
1. 四端口
以四端口体系为例,上面的公式可以写为矩阵形式:
其中矩阵对角线上用到了以下关系:
该关系式的证明如下:当所有电极的电压都相等时,在端的电极的电流
应为零,代入Landauer–Büttiker公式,证毕。
电极形状可定义为:
lead1 lead3
lead4
一般可令,
。表达式写为:
在强磁场下(朗道能级)或只存在边缘态的情况下,假设电流只有从1->2->3->4->1这个过程,以上可化简为:
其中,。“2”来源于电子的自旋自由度,“M”表示通道数。
展开得:
得到:,
,
。
所以霍尔电阻:。
2. 六端口
以下考虑六端口。公式显示比较小,可在公式上右键,选择“在新标签页中打开图像”。
六端口的形式:
电极形状可定义为:
lead1 lead4
lead6 lead5
一般可令,
。表达式写为:
强磁场下(朗道能级)或只存在边缘态的情况下,假设电流只有从1->2->3->4->5->6->1这个过程,以上可化简为:
展开得:
得到:,
,
。
所以霍尔电阻:。
补充说明:如果没有使得某些矩阵元为零,那么推导霍尔电阻或纵向电阻似乎有点难度。
参考资料:
[1] Supriyo Datta, Electronic transport in mesoscopic systems, 2004.
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