学术, 量子输运

介观体系中的Landauer–Büttiker公式

在介观体系中,两端口的电导由Landauer公式给出[1]:

G=\frac{e^2}{h}T

其中,T表示电子的透射几率(transmission)。

推广到多端口体系,有Landauer–Büttiker公式[1]:

\begin{aligned}I_{i}&=\frac{e^2}{h}\sum_{j}(T_{j,i}V_{i}-T_{i,j}V_{j})\\&=\sum_{j}(G_{j,i}V_{i}-G_{i,j}V_{j}})\end{aligned}

其中,T_{j,i}也可以写为T_{j\leftarrow i},表示的是从第i个端口散射到第j个端口的几率。

1. 四端口

以四端口体系为例,上面的公式可以写为矩阵形式:

\begin{pmatrix}I_1 \\ I_2  \\ I_3 \\ I_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}G_{12}+G_{13}+G_{14}  &  -G_{12}  &  -G_{13}  &  -G_{14}  \\-G_{21}   &  G_{21}+G_{23}+G_{24}  & -G_{23}  &  -G_{24}  \\-G_{31}  &  -G_{32}  &  G_{31}+G_{32}+G_{34}   &  -G_{34}   \\-G_{41}    & -G_{42} &    -G_{43}   & G_{41}+G_{42}+G_{43}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ V_4\end{pmatrix}

其中矩阵对角线上用到了以下关系:

\sum_{j}G_{ji}=\sum_{j}G_{ij}

该关系式的证明如下:当所有电极的电压都相等时,在i端的电极的电流I_{i}应为零,代入Landauer–Büttiker公式,证毕。

电极形状可定义为:

lead2
lead1                            lead3
lead4

一般可令V_3=0I_2=I_4=0。表达式写为:

\begin{pmatrix} I_1 \\ 0  \\ I_3 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}G_{12}+G_{13}+G_{14}  &  -G_{12}  &  -G_{13}  &  -G_{14}  \\-G_{21}   &  G_{21}+G_{23}+G_{24}  & -G_{23}  &  -G_{24}  \\-G_{31}  &  -G_{32}  &  G_{31}+G_{32}+G_{34}   &  -G_{34}   \\-G_{41}    & -G_{42} &    -G_{43}   & G_{41}+G_{42}+G_{43}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ 0 \\ V_4\end{pmatrix}

在强磁场下(朗道能级)或只存在边缘态的情况下,假设电流只有从1->2->3->4->1这个过程,以上可化简为:

\begin{pmatrix} I_1 \\ 0  \\ I_3 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}G  &  0  &  0 & -G \\-G  &  G  & 0 & 0 \\0  & -G  &  G   & 0  \\0   & 0 &    -G   & G\end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ 0 \\ V_4\end{pmatrix}

其中,G=\frac{2e^2M}{h}。“2”来源于电子的自旋自由度,“M”表示通道数。

展开得:

\begin{aligned} I_1 &= G V_1-GV_4\\0  & = -G V_1 + G V_2\\I_3  & = -G V_2\\0  & = GV_4\end{aligned}

得到:V_1=V_2V_4=0I_1=-I_3 = G V_1

所以霍尔电阻:R_H=\frac{V_2-V_4}{I_1}=\frac{1}{G}

2. 六端口

以下考虑六端口。公式显示比较小,可在公式上右键,选择“在新标签页中打开图像”。

六端口的形式:

\begin{pmatrix}I_1 \\ I_2  \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}G_{12}+G_{13}+G_{14} +G_{15}  +G_{16}   &  -G_{12}  &  -G_{13}  &  -G_{14}   &  -G_{15}    &  -G_{16}  \\-G_{21}   &  G_{21}+G_{23}+G_{24} +G_{25}  +G_{26}   & -G_{23}  &  -G_{24}   &  -G_{25}    &  -G_{26}  \\-G_{31}  &  -G_{32}  &  G_{31}+G_{32}+G_{34}  +G_{35}  +G_{36}   &  -G_{34}  &  -G_{35}    &  -G_{36}  \\-G_{41}    & -G_{42} &    -G_{43}   & G_{41}+G_{42}+G_{43} +G_{45}  +G_{46}  &  -G_{45}    &  -G_{46}  \\-G_{51}    & -G_{52} &    -G_{53}    &    -G_{54}  &  G_{51}+G_{52}+G_{53} +G_{54}  +G_{56}   &  -G_{56}  \\ -G_{61}    & -G_{62} &    -G_{63}    &    -G_{64}    &    -G_{65}   & G_{61}+G_{62}+G_{63}  +G_{64}  +G_{65}   \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ V_4 \\ V_5 \\  V_6\end{pmatrix}

电极形状可定义为:

lead2      lead3
lead1                                lead4
lead6      lead5

一般可令V_4=0I_2=I_3=I_5=I_6=0。表达式写为:

\begin{pmatrix}I_1 \\0 \\ 0 \\ I_4 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}G_{12}+G_{13}+G_{14} +G_{15}  +G_{16}   &  -G_{12}  &  -G_{13}  &  -G_{14}   &  -G_{15}    &  -G_{16}  \\-G_{21}   &  G_{21}+G_{23}+G_{24} +G_{25}  +G_{26}   & -G_{23}  &  -G_{24}   &  -G_{25}    &  -G_{26}  \\-G_{31}  &  -G_{32}  &  G_{31}+G_{32}+G_{34}  +G_{35}  +G_{36}   &  -G_{34}  &  -G_{35}    &  -G_{36}  \\-G_{41}    & -G_{42} &    -G_{43}   & G_{41}+G_{42}+G_{43} +G_{45}  +G_{46}  &  -G_{45}    &  -G_{46}  \\-G_{51}    & -G_{52} &    -G_{53}    &    -G_{54}  &  G_{51}+G_{52}+G_{53} +G_{54}  +G_{56}   &  -G_{56}  \\ -G_{61}    & -G_{62} &    -G_{63}    &    -G_{64}    &    -G_{65}   & G_{61}+G_{62}+G_{63}  +G_{64}  +G_{65}   \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ 0 \\ V_5 \\  V_6\end{pmatrix}

强磁场下(朗道能级)或只存在边缘态的情况下,假设电流只有从1->2->3->4->5->6->1这个过程,以上可化简为:

\begin{pmatrix}I_1 \\0 \\ 0 \\ I_4 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}G  &  0 &  0  &  0  & 0    &  -G \\-G   &  G  & 0  &  0   & 0   &  0  \\0  &  -G    & G &  0    &  0  &  0  \\0   & 0 &   -G  & G    &  0  &  0  \\0  & 0 &   0 &    -G  & G  &  0  \\ 0    & 0&    0   &  0   &    -G   & G   \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ 0 \\ V_5 \\  V_6\end{pmatrix}

展开得:

\begin{aligned} I_1 &= G V_1-GV_6\\0  & = -G V_1 + G V_2\\0 &=-GV_2 +GV_3\\I_4 &=-GV_3\\0  & = GV_5\\0  & = -GV_5+GV_6\end{aligned}

得到:V_1=V_2=V_3V_5=V_6=0I_1=-I_4=GV_1

所以霍尔电阻:R_H=\frac{V_2-V_6}{I_1}= \frac{V_3-V_5}{I_1}= \frac{1}{G}

补充说明:如果没有使得某些矩阵元为零,那么推导霍尔电阻或纵向电阻似乎有点难度。

参考资料:

[1] Supriyo Datta, Electronic transport in mesoscopic systems, 2004.

[2] Three-dimensional topological insulator in a magnetic field: chiral side surface states and quantized Hall conductance

[3] https://wiki.physics.udel.edu/wiki_phys824/images/8/8c/PHYS824_lecture8_landauer_buttiker_formula.pdf

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4 thoughts on “介观体系中的Landauer–Büttiker公式”

  1. 您好,对于多端口,可以是奇数的情况吗,比如3,5,是否能用kwant去计算电导,谢谢。

  2. 博主,对于多端口体系,任意两个端口的电导与其透射率还是(e^2/h)倍的关系么?

    1. 由于存在电极的散射,所以无法达到绝对的(e^2/h)倍。如果把所有透射和反射全部加起来,还是(e^2/h)倍。

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