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时间反演算符 Time Reversal Operator

发布时间：2019年10月26日2023年9月4日

最近修改时间：2023年9月4日

先介绍几个概念：

1. 反对称（Antisymmetry）

$A^T=-A$

对称再加个负号，就是反对称。

2. 反线性（Antilinear）

$\hat{A}(\alpha \varphi+\beta \delta)=\alpha^* \hat{A} \varphi +\beta^* \hat{A} \delta$

以上是反线性算符（或者函数）的定义。反线性算符作用在两个态的线性叠加态上，系数移到算符外时需要对系数取复数共轭。这是与线性算符本质的差别。

3. 反幺正（Antiunitary）

反幺正算符，也可以说是“反线性的幺正算符”。

反幺正算符也满足幺正算符以下的性质

$\hat{A}\hat{A}^{\dagger}=\hat{A}^{\dagger}\hat{A}=I$

同时又满足反线性算符的性质。

4. 时间反演算符（Time Reversal Operator）

时间反演算符 $T$ 是反幺正算符，满足性质： $TT^\dagger= T^\dagger T=I$ 。

（1）当体系不考虑自旋轨道耦合，也就是可以不考虑自旋的情况（spinless），时间反演算符可以写成：

$T=K$

其中K代表取复数共轭。这时的时间反演算符满足： $T^2=1$ 。

（2）当体系有自旋轨道耦合，则要考虑有自旋的情况（spinful），时间反演算符可以写成：

$T=i\sigma_y K=UK=\left[\begin{matrix} 0&1\\ -1&0 \end{matrix}\right]K$

其中 $U= i\sigma_y= \left[\begin{matrix} 0&1\\ -1&0 \end{matrix}\right]$ 。这时的时间反演算符满足： $T^2=-1$ 。

$U$ 是反对称算符，满足 $U^T=-U$ 。可以直接从矩阵看出来，也可以这么证明：因为 $T^2=-1$ ，所以 $UKUK=UU^*KK=UU^*=-1$ ，又有 $U$ 是幺正的 $UU^\dagger=1$ ，可得 $U^*=-U^\dagger$ ，即 $U^T=-U$ 。

关于时间反演算符为什么是反幺正算符以及可以写成这个形式，可以参考喀兴林的《高等量子力学》。

参考资料：

[5] https://en.wikipedia.org/wiki/Antilinear_map

[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Antiunitary_operator

[7] https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_transformation

[8] https://topocondmat.org/w1_topointro/0d.html

[9] https://ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/phys/theoretical-physics/cmtm-dam/documents/tqn/04.pdf

[10] 喀兴林《高等量子力学》

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12 thoughts on “时间反演算符 Time Reversal Operator”

Yi Li说道：

2023年9月3日 11:40

关老师您好，有个问题请教您，以SSH模型为例，H=(t+cos(kx))\sigma_x +sin(kx)\sigma_y,作为单粒子模型且实空间hopping全为实数，应该具有时间反演不变性，T=K，但是将T=K代入，TH(k)T^(-1)=H^*(-k)却不满足，这是为什么呢？

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1. guanjihuan说道：
  
  2023年9月4日 22:54
  
  是满足于这个吧：T(H(k))T^(-1) = H(-k)，或者H(k) = H*(-k)。
  
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匿名说道：

2023年9月2日 11:09

老师您好，请问无自旋系统的时间反演算符可以表示为一个复共轭算符，在自旋系统下需要写为一个幺正算符乘上一个复共轭算符，是为了解决在自旋1/2粒子情况下，Sx、Sy、Sz都必须满足TST^(-1)=-S吗？

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1. guanjihuan说道：
  
  2023年9月2日 13:24
  
  具体我也忘了，你可以看教科书里是怎么推导的。写成这个形式的目的是使得自旋自由度也得到了时间反演的操作。
  
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匿名说道：

2023年7月17日 11:34

老师您好，请问反线性对称性指的就是H^{\dagger}=-H 吗

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1. guanjihuan说道：
  
  2023年7月17日 15:17
  
  好像不是的。这个表达式是反厄米的定义（anti-hermitian or skew-hermitian）。
  
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一只理智喵说道：

2021年3月10日 23:25

博主博主，我有一个问题想请教你。
比如我想构造一个哈密顿量，并希望这个哈密顿量拥有某些对称性，应该如何去构造呢。2*2的矩阵结构比较简单，可是我想做一个4*4的就不知道应该如何下手。
先有对称性再去构造哈密顿量的思路应该是怎样呢？或者哪里有教这些的也可以推荐一下。我刚入门拓扑这个领域没有多少经验。
感谢感谢！

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1. guanjihuan说道：
  
  2021年3月10日 23:36
  
  这个我也不是很了解，没看到过这方面的资料。遇到具体问题具体分析吧。个人感觉是先把哈密顿量设为参数，然后用对称性算符作用，由关系式确定某些参数或者找到参数之间的某种关系。
  
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  1. 一只理智喵说道：
    
    2021年3月11日 00:46
    
    我是设置成参数了，也找到了参数之间的关系，但是不知道怎么构造出来的模型才能满足它。
    我再找找文献看吧~~
    
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    1. guanjihuan说道：
      
      2021年3月11日 14:45
      
      嗯，应该跟群论有点关系，可以找找这方面的资料
      
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    2. Corn说道：
      
      2022年9月28日 21:07
      
      朋友你好，请问你找到构造满足对称性的模型这方面内容了吗~
      
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2. 匿名说道：
  
  2022年2月20日 22:09
  
  你好，请问你现在知道构造的大概步骤是怎样吗，我现在是刚开始拓扑方面的科研，也遇到这个问题
  
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