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时间反演算符 Time Reversal Operator

先介绍几个概念:

1. 反对称(Antisymmetry)

A^T=-A

对称再加个负号,就是反对称。

2. 反线性(Antilinear)

\hat{A}(\alpha \varphi+\beta \delta)=\alpha^* \hat{A} \varphi +\beta^* \hat{A} \delta

以上是反线性算符(或者函数)的定义。反线性算符作用在两个态的线性叠加态上,系数移到算符外时需要对系数取复数共轭。这是与线性算符本质的差别。

3. 反幺正(Antiunitary)

反幺正算符,也可以说是“反线性的幺正算符”。

反幺正算符也满足幺正算符以下的性质

\hat{A}\hat{A}^{\dagger}=\hat{A}^{\dagger}\hat{A}=I

同时又满足反线性算符的性质。

4. 时间反演算符(Time Reversal Operator)

时间反演算符T是反幺正算符,满足性质:TT^\dagger= T^\dagger T=I

(1)当体系不考虑自旋轨道耦合,也就是可以不考虑自旋的情况(spinless),时间反演算符可以写成:

T=K

其中K代表取复数共轭。这时的时间反演算符满足:T^2=1

(2)当体系有自旋轨道耦合,则要考虑有自旋的情况(spinful),时间反演算符可以写成:

T=i\sigma_y K=UK=\left[\begin{matrix} 0&1\\ -1&0 \end{matrix}\right]K

其中U= i\sigma_y= \left[\begin{matrix} 0&1\\ -1&0 \end{matrix}\right]。这时的时间反演算符满足:T^2=-1

U是反对称算符,满足U^T=-U。可以直接从矩阵看出来,也可以这么证明:因为 T^2=-1,所以UKUK=UU^*KK=UU^*=-1,又有U是幺正的UU^\dagger=1,可得U^*=-U^\dagger,即 U^T=-U

关于时间反演算符为什么是反幺正算符以及可以写成这个形式,可以参考喀兴林的《高等量子力学》。

参考资料:

[1] 百度百科:反对称矩阵

[2] 百度百科:幺正变换

[3] 百度百科:幺正算符

[4] 百度百科:反幺正算符

[5] https://en.wikipedia.org/wiki/Antilinear_map

[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Antiunitary_operator

[7] https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_transformation

[8] https://topocondmat.org/w1_topointro/0d.html

[9] https://ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/phys/theoretical-physics/cmtm-dam/documents/tqn/04.pdf

[10] 喀兴林《高等量子力学》

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12 thoughts on “时间反演算符 Time Reversal Operator”

  1. 关老师您好,有个问题请教您,以SSH模型为例,H=(t+cos(kx))\sigma_x +sin(kx)\sigma_y,作为单粒子模型且实空间hopping全为实数,应该具有时间反演不变性,T=K,但是将T=K代入,TH(k)T^(-1)=H^*(-k)却不满足,这是为什么呢?

  2. 老师您好,请问无自旋系统的时间反演算符可以表示为一个复共轭算符,在自旋系统下需要写为一个幺正算符乘上一个复共轭算符,是为了解决在自旋1/2粒子情况下,Sx、Sy、Sz都必须满足TST^(-1)=-S吗?

    1. 具体我也忘了,你可以看教科书里是怎么推导的。写成这个形式的目的是使得自旋自由度也得到了时间反演的操作。

    1. 好像不是的。这个表达式是反厄米的定义(anti-hermitian or skew-hermitian)。

  3. 博主博主,我有一个问题想请教你。
    比如我想构造一个哈密顿量,并希望这个哈密顿量拥有某些对称性,应该如何去构造呢。2*2的矩阵结构比较简单,可是我想做一个4*4的就不知道应该如何下手。
    先有对称性再去构造哈密顿量的思路应该是怎样呢?或者哪里有教这些的也可以推荐一下。我刚入门拓扑这个领域没有多少经验。
    感谢感谢!

    1. 这个我也不是很了解,没看到过这方面的资料。遇到具体问题具体分析吧。个人感觉是先把哈密顿量设为参数,然后用对称性算符作用,由关系式确定某些参数或者找到参数之间的某种关系。

      1. 我是设置成参数了,也找到了参数之间的关系,但是不知道怎么构造出来的模型才能满足它。
        我再找找文献看吧~~

    2. 你好,请问你现在知道构造的大概步骤是怎样吗,我现在是刚开始拓扑方面的科研,也遇到这个问题

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