先介绍几个概念：
1. 反对称（Antisymmetry）
对称再加个负号，就是反对称。
2. 反线性（Antilinear）
以上是反线性算符（或者函数）的定义。反线性算符作用在两个态的线性叠加态上，系数移到算符外时需要对系数取复数共轭。这是与线性算符本质的差别。
3. 反幺正（Antiunitary）
反幺正算符，也可以说是“反线性的幺正算符”。
反幺正算符也满足幺正算符以下的性质
同时又满足反线性算符的性质。
4. 时间反演算符（Time Reversal Operator）
时间反演算符
是反幺正算符，满足性质：
。
（1）当体系不考虑自旋轨道耦合，也就是可以不考虑自旋的情况（spinless），时间反演算符可以写成：
其中K代表取复数共轭。这时的时间反演算符满足：
。
（2）当体系有自旋轨道耦合，则要考虑有自旋的情况（spinful），时间反演算符可以写成：
![T=i\sigma_y K=UK=\left[\begin{matrix} 0&1\\ -1&0 \end{matrix}\right]K](https://www.guanjihuan.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19fb56baa8c077e7b5690b8fd2a6cc36_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
其中![U= i\sigma_y= \left[\begin{matrix} 0&1\\ -1&0 \end{matrix}\right]](https://www.guanjihuan.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-63aa07d94ef7ffeb721c40310897888c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
。这时的时间反演算符满足：
。
是反对称算符，满足
。可以直接从矩阵看出来，也可以这么证明：因为 ，所以
，又有是幺正的
，可得
，即 。
关于时间反演算符为什么是反幺正算符以及可以写成这个形式，可以参考喀兴林的《高等量子力学》。
参考资料：
[1] 百度百科：反对称矩阵
[2] 百度百科：幺正变换
[3] 百度百科：幺正算符
[4] 百度百科：反幺正算符
[5] https://en.wikipedia.org/wiki/Antilinear_map
[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Antiunitary_operator
[7] https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_transformation
[8] 喀兴林《高等量子力学》
[9] http://www-personal.umich.edu/~sunkai/teaching/Fall_2012/chapter5_part2.pdf
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博主博主，我有一个问题想请教你。
比如我想构造一个哈密顿量，并希望这个哈密顿量拥有某些对称性，应该如何去构造呢。2*2的矩阵结构比较简单，可是我想做一个4*4的就不知道应该如何下手。
先有对称性再去构造哈密顿量的思路应该是怎样呢？或者哪里有教这些的也可以推荐一下。我刚入门拓扑这个领域没有多少经验。
感谢感谢！
这个我也不是很了解，没看到过这方面的资料。遇到具体问题具体分析吧。个人感觉是先把哈密顿量设为参数，然后用对称性算符作用，由关系式确定某些参数或者找到参数之间的某种关系。
我是设置成参数了，也找到了参数之间的关系，但是不知道怎么构造出来的模型才能满足它。
我再找找文献看吧~~
嗯，应该跟群论有点关系，可以找找这方面的资料
朋友你好，请问你找到构造满足对称性的模型这方面内容了吗~
你好，请问你现在知道构造的大概步骤是怎样吗，我现在是刚开始拓扑方面的科研，也遇到这个问题