模型和能带, 学术

矩阵两边乘上向量或者泡利矩阵后的形式

在量子力学中,经常会遇到矩阵两侧乘上向量或者泡利矩阵,这里给出乘积后展开的形式,以便之后在阅读文献时,可以了解到中间被省略的推导过程。

假设矩阵为:

H=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}

1. 矩阵两边乘上向量

\begin{aligned}&\begin{pmatrix}c_1^{\dagger}, c_2^{\dagger}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}c_1^{\dagger}a_{11}+c_2^{\dagger}a_{21}, c_1^{\dagger}a_{12}+c_2^{\dagger}a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}\\=&a_{11}c_1^{\dagger}c_1+a_{21}c_2^{\dagger}c_1+a_{12}c_1^{\dagger}c_2+a_{22}c_2^{\dagger}c_2\end{aligned}

在最后的表达式中可以看到矩阵上的元素和向量中元素的对应关系。在文献中,哈密顿量一般会写成这两种形式:一个是矩阵的形式,一个是展开的形式。

2. 矩阵两边乘上泡利矩阵

矩阵两边乘上泡利矩阵一般会在幺正变换中出现,这包括哈密顿量满足某种对称性的情况。

(1)两边乘上\sigma_{x}

\begin{aligned}&\sigma_{x}H\sigma_{x}\\=&\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}a_{21} & a_{22} \\a_{11} & a_{12} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}a_{22} & a_{21} \\a_{12} & a_{11} \\\end{pmatrix}\end{aligned}

可以看到结果为:矩阵对角线的两个元素互换,非对角线的两个元素互换。

(2)两边乘上\sigma_{y}

\begin{aligned}&\sigma_{y}H\sigma_{y}\\=&\begin{pmatrix}0 & -i \\i & 0 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -i \\i & 0 \\\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}-i a_{21} & -i a_{22} \\i a_{11} & i a_{12} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -i \\i & 0 \\\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}a_{22} & -a_{21} \\-a_{12} & a_{11} \\\end{pmatrix}\end{aligned}

可以看到结果为:矩阵对角线的两个元素互换,非对角线的两个元素互换并且加上一个负号。

(3)两边乘上\sigma_{z}

\begin{aligned}&\sigma_{z}H\sigma_{z}\\=&\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \\\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}a_{11} &   a_{12} \\-a_{21} &  -a_{22} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \\\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}a_{11} & -a_{12} \\-a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}\end{aligned}

可以看到结果为:矩阵的元素位置都没有变,非对角线的两个元素加上一个负号。

综上,还可以发现\sigma_{x}\sigma_{z}的联合作用效果等同于\sigma_{y}的作用效果,这是因为

\sigma_{x}\sigma_{z}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}=-i\sigma_{y}

\sigma_{z}\sigma_{x}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\-1 & 0 \\\end{pmatrix}=i\sigma_{y}

所以有

(\sigma_{x}\sigma_{z})H(\sigma_{z}\sigma_{x})=(-i\sigma_{y})H(i\sigma_{y})=\sigma_{y}H\sigma_{y}

关于泡利矩阵的张量积(不是乘积),阅读博文:泡利矩阵以及泡利矩阵的张量积

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