SSH模型的哈密顿量、能带图和卷绕数（附Python代码）

本篇内容主要参考这篇文献：A Short Course on Topological Insulators: Band-structure topology and edge states in one and two dimensions。

1. 模型

SSH模型示意图如下[1]：

SSH（Su-Schrieffer-Heeger）模型的哈密顿量为：

当v=w时，该体系为一维的简单晶格链模型。

2. 能带图

SSH模型哈密顿量经过傅里叶变换后，得到：

该模型具有手征对称性。可参考这篇：手征对称性 Chiral Symmetry。

画能带图的Python代码为：

"""
This code is supported by the website: https://www.guanjihuan.com
The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/5025
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import *  
import cmath 


def hamiltonian(k):  # SSH模型
    v=0.6
    w=1
    matrix = np.zeros((2, 2), dtype=complex)
    matrix[0,1] = v+w*cmath.exp(-1j*k)
    matrix[1,0] = v+w*cmath.exp(1j*k)
    return matrix


def main():
    k = np.linspace(-pi, pi, 100)
    plot_bands_one_dimension(k, hamiltonian)


def plot_bands_one_dimension(k, hamiltonian):
    dim = hamiltonian(0).shape[0]
    dim_k = k.shape[0]
    eigenvalue_k = np.zeros((dim_k, dim))
    i0 = 0
    for k0 in k:
        matrix0 = hamiltonian(k0)
        eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(matrix0)
        eigenvalue_k[i0, :] = np.sort(np.real(eigenvalue[:]))
        i0 += 1
    for dim0 in range(dim):
        plt.plot(k, eigenvalue_k[:, dim0], '-k')
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    main()

画出的能带为（该结果来源于文献[1]）：

其中，两个极限的情况是w=0或v=0，如下图所示[1]：

3. 卷绕数

这里先给出结论：当v>w时，SSH模型的卷绕数为0；当v<w时，SSH模型的卷绕数为1。

对于具有手征对称性（chiral symmetry）的两带模型，卷绕数（Winding number）的公式为[1]：

计算的Python代码为：

"""
This code is supported by the website: https://www.guanjihuan.com
The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/5025
"""


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import * 
import cmath
import time

def hamiltonian(k):  # SSH模型
    v=0.6
    w=1
    matrix = np.zeros((2, 2), dtype=complex)
    matrix[0,1] = v+w*cmath.exp(-1j*k)
    matrix[1,0] = v+w*cmath.exp(1j*k)
    return matrix


def main():
    start_clock = time.perf_counter()
    delta_1 = 1e-9  # 求导的步长（求导的步长可以尽可能短）
    delta_2 = 1e-5  # 积分的步长（积分步长和计算时间相关，因此取一个合理值即可）
    W = 0  # Winding number初始化
    for k in np.arange(-pi, pi, delta_2):
        H = hamiltonian(k)
        log0 = cmath.log(H[0, 1])
    
        H_delta = hamiltonian(k+delta_1) 
        log1 = cmath.log(H_delta[0, 1])

        W = W + (log1-log0)/delta_1*delta_2 # Winding number
    print('Winding number = ', W/2/pi/1j)
    end_clock = time.perf_counter()
    print('CPU执行时间(min)=', (end_clock-start_clock)/60)


if __name__ == '__main__':
    main()

当v=0.6, w=1时，计算结果为（-1）：

当v=1, w=0.6时，计算结果为（0）：

参考资料：

[1] A Short Course on Topological Insulators: Band-structure topology and edge states in one and two dimensions

[2] Berry phase effects on electronic properties

[3] 知乎：winding number 的计算公式是怎么来的？

[4] 知乎：陈数（Chern number）与卷绕数（winding number）的区别与联系？

[5] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%B7%E7%BB%95%E6%95%B0

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