本篇内容主要参考这篇文献：A Short Course on Topological Insulators: Band-structure topology and edge states in one and two dimensions。
1. 模型
SSH模型示意图如下[1]：
SSH（Su-Schrieffer-Heeger）模型的哈密顿量为：
当v=w时，该体系为一维的简单晶格链模型。
2. 能带图
SSH模型哈密顿量经过傅里叶变换后，得到：
该模型具有手征对称性。可参考这篇：手征对称性 Chiral Symmetry。
画能带图的Python代码为：
"""
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The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/5025
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import *
import cmath
def hamiltonian(k): # SSH模型
v=0.6
w=1
matrix = np.zeros((2, 2), dtype=complex)
matrix[0,1] = v+w*cmath.exp(-1j*k)
matrix[1,0] = v+w*cmath.exp(1j*k)
return matrix
def main():
k = np.linspace(-pi, pi, 100)
plot_bands_one_dimension(k, hamiltonian)
def plot_bands_one_dimension(k, hamiltonian):
dim = hamiltonian(0).shape[0]
dim_k = k.shape[0]
eigenvalue_k = np.zeros((dim_k, dim))
i0 = 0
for k0 in k:
matrix0 = hamiltonian(k0)
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(matrix0)
eigenvalue_k[i0, :] = np.sort(np.real(eigenvalue[:]))
i0 += 1
for dim0 in range(dim):
plt.plot(k, eigenvalue_k[:, dim0], '-k')
plt.show()
if __name__ == '__main__':
main()
画出的能带为（该结果来源于文献[1]）：
其中，两个极限的情况是w=0或v=0，如下图所示[1]：
3. 卷绕数
这里先给出结论：当v>w时，SSH模型的卷绕数为0；当v<w时，SSH模型的卷绕数为1。
对于具有手征对称性（chiral symmetry）的两带模型，卷绕数（Winding number）的公式为[1]：
计算的Python代码为：
"""
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The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/5025
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import *
import cmath
import time
def hamiltonian(k): # SSH模型
v=0.6
w=1
matrix = np.zeros((2, 2), dtype=complex)
matrix[0,1] = v+w*cmath.exp(-1j*k)
matrix[1,0] = v+w*cmath.exp(1j*k)
return matrix
def main():
start_clock = time.perf_counter()
delta_1 = 1e-9 # 求导的步长（求导的步长可以尽可能短）
delta_2 = 1e-5 # 积分的步长（积分步长和计算时间相关，因此取一个合理值即可）
W = 0 # Winding number初始化
for k in np.arange(-pi, pi, delta_2):
H = hamiltonian(k)
log0 = cmath.log(H[0, 1])
H_delta = hamiltonian(k+delta_1)
log1 = cmath.log(H_delta[0, 1])
W = W + (log1-log0)/delta_1*delta_2 # Winding number
print('Winding number = ', W/2/pi/1j)
end_clock = time.perf_counter()
print('CPU执行时间(min)=', (end_clock-start_clock)/60)
if __name__ == '__main__':
main()
当v=0.6, w=1时，计算结果为（-1）：
当v=1, w=0.6时，计算结果为（0）：
参考资料：
[2] Berry phase effects on electronic properties
[3] 知乎：winding number 的计算公式是怎么来的？
[4] 知乎：陈数（Chern number）与卷绕数（winding number）的区别与联系？
[5] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%B7%E7%BB%95%E6%95%B0
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老师您好，我试了一下，最后的卷绕数可以通过留数法解析求得，设z=e^(ik)，复平面存在两个奇点z=0和z=-w/v，卷绕数等于半径为1的C内的留数和，z=0和z=-w/v对应的留数分别为-1和1，若w>v，则留数和为-1；若w<v，则留数和为-1+1=0。
👍
您好，在此模型中卷绕数是否与体系能量有关？卷绕数等于0是否代表体系能量平均分布，等于-1是否代表能量会聚集在某处？通过这个模型的哈密顿量来看，w, v的地位感觉上应该是等同的，为什么v>w时卷绕数会是0，w>v时卷绕数会是-1？而不是 1 和 -1？
（1）卷绕数跟体系能量无关。
（2）卷绕数是一种拓扑不变量，在有限长度时体现的是量子化的边缘态。跟能量平均分布没关系。
（3）如果是无限长的一维链，w和v的地位是相同的，所以在w和v对调后能带完全一样。在算卷绕数的时候，因为涉及到了元胞的选取，这已经包含了有限长度时边缘态的信息。卷绕数取的值跟定义有关，在不具有拓扑时，是定义为0。
可以参考这篇中有关SSH模型的内容或者其他文献：Electric multipole moments, topological multipole moment pumping, and chiral hinge states in crystalline insulators。
极化跟wannier center的位置有关系，从实空间的这个角度去理解也可以。
感谢大佬😊
请问数学上陈数应该是个整数才对，可是为什么代码算出来的陈数不是个整数捏（大二学生感到很迷惑）
在计算机中数字都是有位数的，例如单精度浮点数（float）最多有7位十进制有效数字，双精度浮点数（double）表示十进制的15或16位有效数字。在数值计算中，可能会遇到无理数，也会遇到除法运算的无限循环小数，都只是取了有限位数，多次计算后会积累不少误差，所以1e-6以下的值一般不会太准确。还有数值计算中的积分也只是用求和代替，并不是严格的积分。
您好，方便问下哈密顿量是开放条件，那个能带图经过傅里叶变化的哈密顿量是在周期性边界条件下吗？(w项从m＝1到N)
能带图必须是在无限长的体系下，才会存在k。因为不是有限长的，所以没有开放条件，也没有周期性边界条件。
能带图k=0的情况，相当于元胞在周期性边界条件下的结果。
您好，这个程序只适用于手对称两能带系统是吗？
从定义来看，是只适用于手对称的系统，但不一定是两能带系统。
如果不满足手对称，可能有其他的拓扑不变量。
好的，谢谢
请问高维度缠绕数的计算是需要先用投影算符降维吗？
没算过，不清楚。可以找下相关文献。
你好，算winding number 的时候选取 的是h(k)，如果选取h(k)*的话计算结果是前者的相反数，请问应该选取哪一个？还是只关注其绝对值大小，选取任何一个都可以？
符号其实也跟积分的路径方向有关，一般会用来区分两个路径方向。其他时候只关注绝对值大小，负号影响不大。
你好，我在求解winding number时，加入了一个循环，看u对于winding number的影响，大多数据很正常，为什么中间会出现一个两千多的数字呢？
是v=w的位置吗，这时候带隙为零，能带相交的地方波函数不好区分开。
你好，我想问一下SSH模型那个哈密顿量您知道怎么推导出来的吗？一直很困惑
我谷歌找到了understanding basic concepts of topological insulators through SSH model这篇论文，还找了其中的参考文献[3]oxford solid state physics书，差不多弄懂了这个哈密顿量的来源。不用麻烦您了，打扰了。
嗯嗯，最明显的特征就是交替的跃迁项。