学术, 电子态密度

态密度 density of states

定义

态密度表示的是在单位体积、单位能量内电子的状态数,即

g(E)=dN/dE=\frac{dN}{dk}\frac{dk}{dE}

公式推导如下:

1. 倒空间中单位体积内的电子状态数

(1)对于一维的体系,有kL=2\pi n,其中L的体系的长度。所以有k=\frac{2\pi n}{L}。两个k点之间的间距为\triangle k=\frac{2\pi}{L}

在倒空间的单位体积中有k点个数:g_k=\frac{L}{2\pi}

L=1,得到对于实空间的单位体积,倒空间的单位体积中k点的个数:g_k=\frac{1}{2\pi}

考虑自旋后,表达式写为:g_k=\frac{2}{2\pi}

(2)对于二维的体系,有g_k=\frac{2}{(2\pi)^2}

(3)对于三维的体系,有g_k=\frac{2}{(2\pi)^3}

2. 单位能量中电子状态数

假设能带结构为:E=\frac{\hbar^2}{2m}k^2。那么有k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}

(1)对于一维的体系,在微分能量dE中,k的分布范围是两个线段,体积为dV_k=2 dk,因此状态数:dN=g_k \cdot dV_k=2 dk \frac{2}{2\pi}

态密度:

\begin{aligned}g(E)&=dN/dE=\frac{dN}{dk}\cdot\frac{dk}{dE}\\&=2 \frac{2}{2\pi}\cdot \frac{m}{\hbar^2 k}=2 \frac{2m}{2\pi\hbar^2}\cdot \frac{1}{k}\\&=2 \frac{2m}{2\pi\hbar^2}\cdot \frac{\hbar}{\sqrt{2mE}}\\&=2\frac{\sqrt{2m}}{h}\frac{1}{\sqrt{E}}\end{aligned}

(2)对于二维的体系,在微分能量dE中,k的分布范围是一个环带,体积为dV_k=2\pi k dk,因此状态数:dN=g_k \cdot dV_k=2\pi k dk \frac{2}{(2\pi)^2}

态密度:

\begin{aligned}g(E)&=dN/dE=\frac{dN}{dk}\cdot\frac{dk}{dE}\\&=2\pi k\frac{2}{(2\pi)^2} \cdot \frac{m}{\hbar^2 k}\\&=2\pi \frac{2m}{h^2}\cdot 1\\&=\frac{m}{\pi \hbar^2}\end{aligned}

(3)对于三维的体系,在微分能量dE中,k的分布范围是一个球壳,体积为dV_k=4\pi k^2 dk,因此状态数:dN=g_k \cdot dV_k=4\pi k^2 dk\frac{2}{(2\pi)^3}

态密度:

\begin{aligned}g(E)&=dN/dE=\frac{dN}{dk}\cdot\frac{dk}{dE}\\&=4\pi k^2\frac{2}{(2\pi)^3}\cdot \frac{m}{\hbar^2 k}=4\pi \frac{2m}{(2\pi)^3\hbar^2}k\\&=4\pi \frac{2m}{(2\pi)^3\hbar^2}\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\\&=4\pi \frac{(2m)^{\frac{3}{2}}}{h^3}\sqrt{E}\end{aligned}

说明:以上几个推导公式仅适用于均匀的倒空间点阵以及简单的能带结构。

参考资料:

[1] 北京科技大学Prof. Xinhe Zheng的半导体物理课件

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4 thoughts on “态密度 density of states”

  1. 你好,请问这里说的态密度是指电子实际存在的态的密度还是指电子可能存在的态的密度?

    1. 在量子力学中,波函数就是由各种可能状态的叠加。态密度是在单位体积、单位能量内电子的状态数。
      你说的这两种描述好像没什么区别。如果电子完全填充,两者是一样的。如果电子不填充,那么态密度就是当电子填充时最大的状态数了。

    1. 态密度有局域态密度(实空间分布)、谱函数(倒空间分布)。实空间的态密度和电子密度好像不完全一样,电子密度可能需要对态密度进行能量上的积分。

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