本篇推导贝里相位
、贝里联络
、贝里曲率
和陈数
之间的关系。
贝里相位的定义（离散的情况是写成Wilson loop的形式）：
![\phi = -\mathrm{Im} \ \mathrm{ln}\big[\langle u_0|u_1 \rangle \langle u_1|u_2 \rangle ... \langle u_{N-1}|u_0 \rangle \big]](https://www.guanjihuan.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-16bdacac28d9cee7db6a22da063bdd22_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
通过以下变换[2]，
可以得到连续的形式：
其中，贝里联络定义为：
贝里曲率定义为：
由格林公式或斯托克斯公式，可以知道贝里相位的环路积分等价于贝里曲率的面积分。
需要注意的是：以上等式的成立是需要条件的，即波函数在整个S面上要光滑连续。
根据陈定理（Chern theorem），等式左边对布里渊区（封闭的二维流形）积分恒等于
，其中
为整数（陈数），即 
。
如果波函数在整个封闭流形上是光滑连续的，那么把这个封闭的流形分成A,B两个区域，分别用上Stokes定理：
和 
，其中和
分别是A,B区域的贝里相位（沿着A,B区域的路径P积分）。于是，对整个封闭的流形积分有：
，即陈数为0。
因此[1]：
陈数在数学上的意义是[1-6]：
A nonzero Chern index presents a topological obstruction to the construction of a globally smooth gauge.
附：格林公式和斯托克斯公式[7]
（1）格林（Green）公式
（2）斯托克斯（Stokes）公式
参考资料：
[1] David Vanderbilt - Berry Phases in Electronic Structure Theory_ Electric Polarization, Orbital Magnetization and Topological Insulators (2018, Cambridge University Press)
[2] B. Andrei Bernevig - Topological Insulators and Topological Superconductors 第30页
[3] Berry phase effects on electronic properties (Di Xiao, Ming-Che Chang, and Qian Niu)
[5] 数学上陈数（Chern number）或 Berry Phase 有何意义？
[6] https://topocondmat.org/w4_haldane/ComputingChern.html
[7] 《数学分析》下册，华东师范大学数学系编，高等教育出版社
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“贝里相位的环路积分等价于贝里曲率的面积分”，那里写错吗？贝里联络的环路积分等价于贝里曲率的面积分？
是有前提条件的。如果陈数为零是成立的，如果陈数不为零则不成立。
请问最开始推导Berry相位的连续形式时，第三个等号后ln为什么可以直接摘掉呀？
ln(1+x)的泰勒展开近似，只取第一项。