拓扑不变量, 学术

贝里相位、贝里联络、贝里曲率和陈数

本篇推导贝里相位\phi、贝里联络\bm{A}、贝里曲率\bm{\Omega}和陈数C之间的关系。

贝里相位的定义(离散的情况是写成Wilson loop的形式):

\phi = -\mathrm{Im} \ \mathrm{ln}\big[\langle u_0|u_1 \rangle \langle u_1|u_2 \rangle ... \langle u_{N-1}|u_0 \rangle \big]

通过以下变换[2],

可以得到连续的形式:

\phi=\oint \langle u_{\lambda}|i \partial_{\lambda} u_{\lambda} \rangle d\lambda

其中,贝里联络定义为:

\bm{A}(\lambda)=\langle u_{\lambda}|i \partial_{\lambda} u_{\lambda} \rangle

贝里曲率定义为:

\bm{\Omega}(\lambda) = \bm{\nabla}_{\lambda} \times \bm{A}(\lambda)

由格林公式或斯托克斯公式,可以知道贝里相位的环路积分等价于贝里曲率的面积分。

\int_S \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S} = \oint_P \bm{A} \cdot d \bm{\lambda}

需要注意的是:以上等式的成立是需要条件的,即波函数在整个S面上要光滑连续。

根据陈定理(Chern theorem),等式左边对布里渊区(封闭的二维流形)积分恒等于2\pi n,其中n为整数(陈数),即 \oint_S \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S} = 2\pi n

如果波函数在整个封闭流形上是光滑连续的,那么把这个封闭的流形分成A,B两个区域,分别用上Stokes定理:\int_A \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S} =\phi\int_B \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S} =-\phi,其中\phi-\phi分别是A,B区域的贝里相位(沿着A,B区域的路径P积分)。于是,对整个封闭的流形积分有:\oint_S \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S}=\int_A \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S}+\int_B \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S}=0,即陈数为0。

因此[1]:

陈数在数学上的意义是[1-6]:

A nonzero Chern index presents a topological obstruction to the construction of a globally smooth gauge.

附:格林公式和斯托克斯公式[7]

(1)格林(Green)公式

(2)斯托克斯(Stokes)公式

参考资料:

[1] David Vanderbilt - Berry Phases in Electronic Structure Theory_ Electric Polarization, Orbital Magnetization and Topological Insulators (2018, Cambridge University Press)

[2] B. Andrei Bernevig - Topological Insulators and Topological Superconductors 第30页

[3] Berry phase effects on electronic properties (Di Xiao, Ming-Che Chang, and Qian Niu)

[4] 浅谈Berry相位(一)——基本概念

[5] 数学上陈数(Chern number)或 Berry Phase 有何意义?

[6] https://topocondmat.org/w4_haldane/ComputingChern.html

[7] 《数学分析》下册,华东师范大学数学系编,高等教育出版社

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2 thoughts on “贝里相位、贝里联络、贝里曲率和陈数”

  1. 请问最开始推导Berry相位的连续形式时,第三个等号后ln为什么可以直接摘掉呀?

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