拓扑不变量, 学术

贝里相位、贝里联络、贝里曲率和陈数

本篇推导贝里相位\phi、贝里联络\bm{A}、贝里曲率\bm{\Omega}和陈数C之间的关系。

贝里相位的定义(离散的情况是写成Wilson loop的形式):

\phi = -\mathrm{Im} \ \mathrm{ln}\big[\langle u_0|u_1 \rangle \langle u_1|u_2 \rangle ... \langle u_{N-1}|u_0 \rangle \big]

通过以下变换[2],

可以得到连续的形式:

\phi=\oint \langle u_{\lambda}|i \partial_{\lambda} u_{\lambda} \rangle d\lambda

其中,贝里联络定义为:

\bm{A}(\lambda)=\langle u_{\lambda}|i \partial_{\lambda} u_{\lambda} \rangle

贝里曲率定义为:

\bm{\Omega}(\lambda) = \bm{\nabla}_{\lambda} \times \bm{A}(\lambda)

由格林公式或斯托克斯公式,可以知道贝里相位的环路积分等价于贝里曲率的面积分。

\int_S \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S} = \oint_P \bm{A} \cdot d \bm{\lambda}

需要注意的是:以上等式的成立是需要条件的,即波函数在整个S面上要光滑连续。

根据陈定理(Chern theorem),等式左边对布里渊区(封闭的二维流形)积分恒等于2\pi n,其中n为整数(陈数),即 \oint_S \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S} = 2\pi n

如果波函数在整个封闭流形上是光滑连续的,那么把这个封闭的流形分成A,B两个区域,分别用上Stokes定理:\int_A \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S} =\phi\int_B \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S} =-\phi,其中\phi-\phi分别是A,B区域的贝里相位(沿着A,B区域的路径P积分)。于是,对整个封闭的流形积分有:\oint_S \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S}=\int_A \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S}+\int_B \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S}=0,即陈数为0。

因此[1]:

陈数在数学上的意义是[1-6]:

A nonzero Chern index presents a topological obstruction to the construction of a globally smooth gauge.

附:格林公式和斯托克斯公式[7]

(1)格林(Green)公式

(2)斯托克斯(Stokes)公式

参考资料:

[1] David Vanderbilt - Berry Phases in Electronic Structure Theory_ Electric Polarization, Orbital Magnetization and Topological Insulators (2018, Cambridge University Press)

[2] B. Andrei Bernevig - Topological Insulators and Topological Superconductors 第30页

[3] Berry phase effects on electronic properties (Di Xiao, Ming-Che Chang, and Qian Niu)

[4] 浅谈Berry相位(一)——基本概念

[5] 数学上陈数(Chern number)或 Berry Phase 有何意义?

[6] https://topocondmat.org/w4_haldane/ComputingChern.html

[7] 《数学分析》下册,华东师范大学数学系编,高等教育出版社

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10 thoughts on “贝里相位、贝里联络、贝里曲率和陈数”

  1. 老师您好。我得到一个能带在二维布里渊区中的本征向量丛,用文中的公式导出贝利曲率在布里渊区上的分布,它虚部并不是零,反而比实部还大一些(在您给我们展示的石墨烯的例子中,它的虚部是接近0的,只有一点数值误差)。因此我想知道“贝利曲率是实数”是怎么来的,如果用文中的公式导出的贝利曲率实部虚部都不接近零,这个虚部的物理意义是什么?

      1. 感谢!也就是说贝利曲率虚部为0的条件是本征向量丛是个每个向量都归一化的复向量丛,如果本征向量在参数空间中长度分布不一致,就产生了贝利联络的非零虚部,但那是没意义的(本征向量乘任意常数还是它本身)。这样理解正确吧?

        1. 嗯,数学上可能会有复数的情况,这个我不大了解。在物理上,波函数相邻k点一般是连续的,以及波函数需要归一化(量子力学的基本性质),所以贝里曲率为实数。其实也比较好理解,因为贝里曲率是倒空间的“磁场”,如果为复数会有点奇怪,另外,它在布里渊区的积分也要为整数。

          你说的向量长度应该没什么关系,即使不是1,是其他长度,求导也是0,同样有一样的证明结果。

  2. “贝里相位的环路积分等价于贝里曲率的面积分”,那里写错吗?贝里联络的环路积分等价于贝里曲率的面积分?

    1. 是有前提条件的。如果陈数为零是成立的,如果陈数不为零则不成立。

  3. 请问最开始推导Berry相位的连续形式时,第三个等号后ln为什么可以直接摘掉呀?

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