贝里相位、贝里联络、贝里曲率和陈数

本篇推导贝里相位 $\phi$ 、贝里联络 $\bm{A}$ 、贝里曲率 $\bm{\Omega}$ 和陈数 $C$ 之间的关系。

贝里相位的定义（离散的情况是写成Wilson loop的形式）：

$\phi = -\mathrm{Im} \ \mathrm{ln}\big[\langle u_0|u_1 \rangle \langle u_1|u_2 \rangle ... \langle u_{N-1}|u_0 \rangle \big]$

通过以下变换[2]，

可以得到连续的形式：

$\phi=\oint \langle u_{\lambda}|i \partial_{\lambda} u_{\lambda} \rangle d\lambda$

其中，贝里联络定义为：

$\bm{A}(\lambda)=\langle u_{\lambda}|i \partial_{\lambda} u_{\lambda} \rangle$

贝里曲率定义为：

$\bm{\Omega}(\lambda) = \bm{\nabla}_{\lambda} \times \bm{A}(\lambda)$

由格林公式或斯托克斯公式，可以知道贝里相位的环路积分等价于贝里曲率的面积分。

$\int_S \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S} = \oint_P \bm{A} \cdot d \bm{\lambda}$

需要注意的是：以上等式的成立是需要条件的，即波函数在整个S面上要光滑连续。

根据陈定理（Chern theorem），等式左边对布里渊区（封闭的二维流形）积分恒等于 $2\pi n$ ，其中 $n$ 为整数（陈数），即 $\oint_S \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S} = 2\pi n$ 。

如果波函数在整个封闭流形上是光滑连续的，那么把这个封闭的流形分成A,B两个区域，分别用上Stokes定理： $\int_A \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S} =\phi$ 和 $\int_B \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S} =-\phi$ ，其中 $\phi$ 和 $-\phi$ 分别是A,B区域的贝里相位（沿着A,B区域的路径P积分）。于是，对整个封闭的流形积分有： $\oint_S \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S}=\int_A \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S}+\int_B \bm{\Omega} (\lambda)d \bm{S}=0$ ，即陈数为0。

因此[1]：

陈数在数学上的意义是[1-6]：

A nonzero Chern index presents a topological obstruction to the construction of a globally smooth gauge.

附：格林公式和斯托克斯公式[7]

（1）格林（Green）公式

（2）斯托克斯（Stokes）公式

参考资料：

[1] David Vanderbilt - Berry Phases in Electronic Structure Theory_ Electric Polarization, Orbital Magnetization and Topological Insulators (2018, Cambridge University Press)

[2] B. Andrei Bernevig - Topological Insulators and Topological Superconductors 第30页

[3] Berry phase effects on electronic properties (Di Xiao, Ming-Che Chang, and Qian Niu)

[4] 浅谈Berry相位（一）——基本概念

[5] 数学上陈数（Chern number）或 Berry Phase 有何意义？

[6] https://topocondmat.org/w4_haldane/ComputingChern.html

[7] 《数学分析》下册，华东师范大学数学系编，高等教育出版社

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