本篇推导贝里相位、贝里联络
、贝里曲率
和陈数
之间的关系。
贝里相位的定义(离散的情况是写成Wilson loop的形式):
通过以下变换[2],

可以得到连续的形式:
其中,贝里联络定义为:
贝里曲率定义为:
由格林公式或斯托克斯公式,可以知道贝里相位的环路积分等价于贝里曲率的面积分。
需要注意的是:以上等式的成立是需要条件的,即波函数在整个S面上要光滑连续。
根据陈定理(Chern theorem),等式左边对布里渊区(封闭的二维流形)积分恒等于,其中
为整数(陈数),即
。
如果波函数在整个封闭流形上是光滑连续的,那么把这个封闭的流形分成A,B两个区域,分别用上Stokes定理: 和
,其中
和
分别是A,B区域的贝里相位(沿着A,B区域的路径P积分)。于是,对整个封闭的流形积分有:
,即陈数为0。
因此[1]:

陈数在数学上的意义是[1-6]:
A nonzero Chern index presents a topological obstruction to the construction of a globally smooth gauge.
附:格林公式和斯托克斯公式[7]
(1)格林(Green)公式

(2)斯托克斯(Stokes)公式


参考资料:
[1] David Vanderbilt - Berry Phases in Electronic Structure Theory_ Electric Polarization, Orbital Magnetization and Topological Insulators (2018, Cambridge University Press)
[2] B. Andrei Bernevig - Topological Insulators and Topological Superconductors 第30页
[3] Berry phase effects on electronic properties (Di Xiao, Ming-Che Chang, and Qian Niu)
[5] 数学上陈数(Chern number)或 Berry Phase 有何意义?
[6] https://topocondmat.org/w4_haldane/ComputingChern.html
[7] 《数学分析》下册,华东师范大学数学系编,高等教育出版社
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“贝里相位的环路积分等价于贝里曲率的面积分”,那里写错吗?贝里联络的环路积分等价于贝里曲率的面积分?
是有前提条件的。如果陈数为零是成立的,如果陈数不为零则不成立。
请问最开始推导Berry相位的连续形式时,第三个等号后ln为什么可以直接摘掉呀?
ln(1+x)的泰勒展开近似,只取第一项。