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漂移-扩散方程 Drift-Diffusion Equation

发布时间：2026年1月14日2026年1月14日

最近修改时间：2026年1月14日

电子电流密度和空穴电流密度分别为：

$\mathbf{J}_n = q (\mu_n n \mathbf{E} + D_n \nabla n) = q (-\mu_n n \nabla \phi + D_n \nabla n)$

$\mathbf{J}_p = q (\mu_p p \mathbf{E} - D_p \nabla p) = q (-\mu_p p \nabla \phi - D_p \nabla p)$

在表达式内部中，前者是漂移电流，后者是扩散电流。

总电流密度为： $\mathbf{J} = \mathbf{J}_n + \mathbf{J}_p$

符号说明：

$q$ ：基本电荷；
$n(\mathbf{r}, t)$ ：电子浓度（单位体积内的电子数）；
$p(\mathbf{r}, t)$ ：空穴浓度；
$D_n, D_p$ ：电子和空穴的扩散系数；
$\mu_n, \mu_p$ ：电子和空穴的迁移率；
$\phi(\mathbf{r}, t)$ ：静电势（电场 $\mathbf{E} = -\nabla \phi$ ）；
$R_n, R_p$ ：净复合-产生率；

漂移-扩散方程（Drift-Diffusion Equation），即连续性方程为：

$\frac{\partial n}{\partial t} = -\nabla \cdot \frac{ \mathbf{J}_n}{-q}+R_n = \nabla \cdot (D_n \nabla n - \mu_n n \nabla \phi) + R_n$

$\frac{\partial p}{\partial t} = -\nabla \cdot \frac{ \mathbf{J}_p}{q}+R_p =\nabla \cdot (D_p \nabla p + \mu_p p \nabla \phi) + R_p$

泊松方程（电势 $\phi$ 并非独立变量，需通过泊松方程与载流子浓度耦合）：

$\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon} = -\frac{q(p - n + N_D^+ - N_A^-)}{\varepsilon}$

这里，施主提供的是可移动的负电荷（电子），但它自己留下了正电荷。

符号说明：

$\varepsilon$ ：材料介电常数；
$N_D^+$ ：电离施主浓度；
$N_A^-$ ：电离受主浓度；
$\rho$ ：净电荷密度。

扩散系数与迁移率通过爱因斯坦关系关联：

$D_n = \frac{k_B T}{q} \mu_n, \quad D_p = \frac{k_B T}{q} \mu_p$

符号说明：

$k_B$ ：玻尔兹曼常数；
$T$ ：绝对温度（单位：K）。

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