模型和能带, 学术

石墨烯在各个高对称轴上的能带结构(附Python代码)

这是之前的一篇:石墨烯哈密顿量与能带图(附Python代码)

本篇画出石墨烯在各个高对称轴上的能带结构,有K-Gamma轴、Gamma-M轴、M-K轴。

石墨烯在实空间中原子坐标示意图:

石墨烯在倒空间中高对称轴示意图:

倒格子的坐标可参考:倒格子基矢的计算(附数值计算、符号计算Python代码)

Python代码:

"""
This code is supported by the website: https://www.guanjihuan.com
The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/6260
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import *   # 引入sqrt(), pi, exp等
import cmath  # 要处理复数情况,用到cmath.exp()


def hamiltonian(k1, k2, M=0, t1=1, a=1/sqrt(3)):  # Haldane哈密顿量(a为原子间距,不赋值的话默认为1/sqrt(3))
    h0 = np.zeros((2, 2), dtype=complex)
    h1 = np.zeros((2, 2), dtype=complex)
    h2 = np.zeros((2, 2), dtype=complex)

    # 质量项(mass term), 用于打开带隙
    h0[0, 0] = M
    h0[1, 1] = -M

    # 最近邻项
    h1[1, 0] = t1*(cmath.exp(1j*k2*a)+cmath.exp(1j*sqrt(3)/2*k1*a-1j/2*k2*a)+cmath.exp(-1j*sqrt(3)/2*k1*a-1j/2*k2*a))
    h1[0, 1] = h1[1, 0].conj()

    # # 最近邻项也可写成这种形式
    # h1[1, 0] = t1+t1*cmath.exp(1j*sqrt(3)/2*k1*a-1j*3/2*k2*a)+t1*cmath.exp(-1j*sqrt(3)/2*k1*a-1j*3/2*k2*a)
    # h1[0, 1] = h1[1, 0].conj()

    matrix = h0 + h1
    return matrix


def main():
    a = 1/sqrt(3)
    Gamma0 = np.array([0, 0])
    M0 = np.array([0, 2*pi/3/a])
    K0 = np.array([2*np.sqrt(3)*pi/9/a, 2*pi/3/a])

    kn = 100  # 每个区域的取点数
    n = 3  # n个区域(K-Gamma,Gamma-M, M-K)
    k1_array = np.zeros(kn*n) 
    k2_array = np.zeros(kn*n)

    # K-Gamma轴
    k1_array[0:kn] = np.linspace(0, K0[0], kn)[::-1] # [::-1]表示反转数组
    k2_array[0:kn] = np.linspace(0, K0[1], kn)[::-1]

    # Gamma-M轴
    k1_array[kn:2*kn] = np.zeros(kn)
    k2_array[kn:2*kn] = np.linspace(0, M0[1], kn)

    # M-K轴
    k1_array[2*kn:3*kn] = np.linspace(0, K0[0], kn)
    k2_array[2*kn:3*kn] = np.ones(kn)*M0[1]
    
    i0 = 0
    dim = hamiltonian(0, 0).shape[0]
    eigenvalue_k = np.zeros((kn*n, dim))
    fig, ax = plt.subplots() 
    for kn0 in range(kn*n):
        k1 =  k1_array[kn0]
        k2 =  k2_array[kn0]
        eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(hamiltonian(k1, k2))
        eigenvalue_k[i0, :] = np.sort(np.real(eigenvalue[:]))
        i0 += 1
    for dim0 in range(dim):
        plt.plot(range(kn*n), eigenvalue_k[:, dim0], '-k') 
    plt.ylabel('E')
    ax.set_xticks([0, kn, 2*kn, 3*kn])
    ax.set_xticklabels(['K', 'Gamma', 'M', 'K'])
    plt.xlim(0, n*kn)
    plt.grid(axis='x',c='r',linestyle='--')
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    main()

计算结果为:

参考资料:

[1] 石墨烯的晶格和能带结构

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19 thoughts on “石墨烯在各个高对称轴上的能带结构(附Python代码)”

  1. 想请问一下,这个布里渊区是怎么算出来的,我算出的结果似乎有所不同

    1. 如果是Gamma-X方向,ky=0,kz=0。如果是其他方向,比如kx=ky=kz方向,那么要共同变化取值,然后计算能带。

  2. 表面上看貌似没什么问题,但是如果将图片放大看,高对称点会有小问题。你在赋值的时候,比如设kn=5,k2_array[0:5] = np.linspace(0, M0[1], 5),前面指标对应的是0 1 2 3 4,所以高对称点对应的指标应该是4,不是5,即不是kn,而是kn-1,后面高对称点应该也是类似,我觉得这里要么就加上endpoint=false,要么采用arrage写法……

    1. 好像跟指标没关系吧,只要取点的个数是对应的就可以了。前面数组只是一个存放数据的变量而已。

      1. 高对称点指标肯定是有问题的 而且linspace也会重复取点,也就是说在中间的高对称点会取到两次

        1. 指标不影响结果呀,只是数据储存的中间过程。重复取点是有的,对画图也不影响。

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