学术, 其他笔记

幺正矩阵和厄密矩阵

酉空间的幺正矩阵对应欧几里得空间的正交矩阵。

酉空间的厄密矩阵对应欧几里得空间的实对称矩阵。

一、正交和幺正

1. 正交矩阵(orthogonal matrix)

正交矩阵定义[1,2]:A^{T}A=I,即A^{T}=A^{-1}

性质:正交矩阵的行(列)向量组是欧几里得空间的标准正交向量组。

2. 幺正矩阵(unitary matrix)

幺正矩阵(酉矩阵)定义[1,3]:A^{\dagger}A=I,即A^{\dagger}=A^{-1}

性质:幺正矩阵的行(列)向量组是酉空间的标准正交向量组。

二、实对称和厄密

1. 实对称矩阵(real symmetric matrix)

实对称矩阵定义[1,4]:A^{T}=A

性质1:实对称矩阵的特征值都是实数。

性质2:对于实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量一定彼此正交。属于相同特征值的特征向量也可进行正交化处理(施密特正交化)。这时候特征向量组合的矩阵为正交矩阵。

性质3:对任意的实对称矩阵A,都存在正交矩阵P,使得矩阵A对角化P^{-1}AP=\Lambda

2. 厄密矩阵(Hermitian matrix)

厄密矩阵定义[1,5]:A^{\dagger}=A

性质1:厄密矩阵的特征值都是实数。

性质2:对于厄密矩阵,属于不同特征值的特征向量一定彼此正交。属于相同特征值的特征向量也可进行正交化处理(施密特正交化)。这时候特征向量组合的矩阵为幺正矩阵。

性质3:对任意的厄密矩阵A,都存在幺正矩阵P,使得矩阵A对角化P^{-1}AP=\Lambda

参考资料:

[1] 《高等代数与解析几何》教材

[2] 百度百科:正交矩阵

[3] 百度百科:幺正矩阵

[4] 百度百科:对称矩阵

[5] 百度百科:厄密矩阵

3,805 次浏览

【说明:本站主要是个人的一些笔记和代码分享,内容可能会不定期修改。为了使全网显示的始终是最新版本,这里的文章未经同意请勿转载。引用请注明出处:https://www.guanjihuan.com

评论说明:
(1)在保留浏览器缓存的前提下,目前支持72小时自主修改或删除个人评论。如果自己无法修改或删除评论,可再次评论或联系我。如有发现广告留言,请勿点击链接,博主会不定期删除。
(2)评论支持Latex公式。把latexpage作为标签放在任何位置,评论中的公式可正常编译,示例:
$Latex formula$  [latexpage]

2 thoughts on “幺正矩阵和厄密矩阵”

  1. 老师您好!我看到很多文献里面都会把哈密顿量通过某种变换,得到能用泡利矩阵表示的非常简洁非常美观的形式,请问这种变换有什么含义和技巧吗?
    还有就是,有些变换能把一个很大的哈密顿量,变成只跟简并态有关的一个较小的reduced哈密顿量,这样的变换是怎么做到的?

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注