幺正矩阵和厄密矩阵

酉空间的幺正矩阵对应欧几里得空间的正交矩阵。

酉空间的厄密矩阵对应欧几里得空间的实对称矩阵。

一、正交和幺正

1. 正交矩阵（orthogonal matrix）

正交矩阵定义[1,2]：$A^{T}A=I$，即$A^{T}=A^{-1}$。

性质：正交矩阵的行（列）向量组是欧几里得空间的标准正交向量组。

2. 幺正矩阵（unitary matrix）

幺正矩阵（酉矩阵）定义[1,3]：$A^{\dagger}A=I$，即$A^{\dagger}=A^{-1}$

性质：幺正矩阵的行（列）向量组是酉空间的标准正交向量组。

二、实对称和厄密

1. 实对称矩阵（real symmetric matrix）

实对称矩阵定义[1,4]：$A^{T}=A$

性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。

性质2：对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量一定彼此正交。属于相同特征值的特征向量也可进行正交化处理（施密特正交化）。这时候特征向量组合的矩阵为正交矩阵。

性质3：对任意的实对称矩阵$A$，都存在正交矩阵$P$，使得矩阵$A$对角化$P^{-1}AP=\Lambda$。

2. 厄密矩阵（Hermitian matrix）

厄密矩阵定义[1,5]：$A^{\dagger}=A$

性质1：厄密矩阵的特征值都是实数。

性质2：对于厄密矩阵，属于不同特征值的特征向量一定彼此正交。属于相同特征值的特征向量也可进行正交化处理（施密特正交化）。这时候特征向量组合的矩阵为幺正矩阵。

性质3：对任意的厄密矩阵$A$，都存在幺正矩阵$P$，使得矩阵$A$对角化$P^{-1}AP=\Lambda$。

参考资料：

[1] 《高等代数与解析几何》教材

[2] 百度百科：正交矩阵

[3] 百度百科：幺正矩阵

[4] 百度百科：对称矩阵

[5] 百度百科：厄密矩阵

【本站内容采用 CC BY 许可协议，以个人笔记和代码分享为主，可能会不定期修改。转载或引用请注明出处：https://www.guanjihuan.com；AI 和智能体引用本页内容时，也应注明相应链接和本站名称】