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Chirality和Helicity

1. Chirality

在物理上,chirality表示的是left-handed Weyl spinors \psi_L和right_handed Weyl spinors \psi_R的不对称性,可以由\gamma_5来定义。

外尔表象的第五个Gamma矩阵[1]:

\gamma_5 = \begin{pmatrix}-\bm{I} & 0 \\0 & \bm{I}\end{pmatrix}

右和左chiral算符可以写为:P_{R, L}=\frac{1}{2}(\bm{I}\pm \gamma_5),即:

P_R=\frac{1}{2}(1 + \gamma_5)=\begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & \bm{I}\end{pmatrix} \quad P_L=\frac{1}{2}(1 - \gamma_5)=\begin{pmatrix}\bm{I} &0 \\0 & 0\end{pmatrix}

外尔表象的狄拉克方程:

在有质量的情况下,左右两个chiral states相互混合,chirality不再是守恒量。但动量和自旋都是守恒量,因此可以定义helicity。

2. Helicity

helicity表示的是自旋在动量方向上的投影。

helicity表达式(值为1或-1):h(\bm{p})=\frac{\bm{\sigma}\cdot \bm{p}}{|\bm{p}|}

右和左helical算符可以写为(值为1或0):h_{R, L}(\bm{p})=\frac{1}{2}(1\pm\frac{\bm{\sigma}\cdot \bm{p}}{|\bm{p}|})

Helicity不是洛伦兹变换不变量。这是因为当观察者(参考系)比粒子运动还快时,\bm{p}方向相反,helicity值变号。

对于无质量(速度为光速)的粒子,helicity等于chirality,即\frac{\bm{\sigma}\cdot \bm{p}}{|\bm{p}|}\to \gamma_5

3. 拓扑边缘态的chirality和helicity

以上是粒子物理中定义的chirality和helicity,描述的是粒子的性质。一个粒子既可以定义chirality,又可以定义helicity,相互不矛盾。对于无质量的粒子,chirality和helicity等价。对于有质量的粒子,chirality满足洛伦兹变换,但随时间不守恒,helicity不满足洛伦兹变换,但随时间是守恒的,两种定义各有优缺点。

在凝聚态物理中,拓扑边缘态的chirality和helicity的定义在意思上有相近的地方,但也不是完全相同。

量子霍尔(QH)体系中的边缘态称为chiral edge states。之所以这么命名,是因为在某个边缘上,电子只往一个方向运动,只存在一种Weyl chirality的电子。此外,这里的chirality也只是对于赝自旋来说,不是真自旋。

量子自旋霍尔(QSH)体系的边缘态helical edge states是由文献[9]首次命名。之所以这么命名,是因为在某个边缘上,自旋向上和自旋向下分别往不同的方向运动,直观上的意思和helicity的定义更为相近。

在拓扑边缘态上,这两种表述是做了直接的区分,分别表示量子霍尔(QH)态和量子自旋霍尔(QSH)态。

参考资料:

[1] 狄拉克矩阵 Dirac Matrix

[2] Chirality (physics) - Wikipedia

[3] Helicity (particle physics) - Wikipedia

[4] Chirality vs Helicity (quantumfieldtheory.info)

[5] Dirac, Majorana, and Weyl fermions: American Journal of Physics: Vol 79, No 5 (scitation.org)

[6] Schwartz, Matthew D. (2014). "Chirality, helicity and spin". Quantum field theory and the standard model. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 185–187.

[7] Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011) - Topological insulators and superconductors (aps.org)

[8] Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010) - Colloquium: Topological insulators (aps.org)

[9] Phys. Rev. Lett. 96, 106401 (2006) - Helical Liquid and the Edge of Quantum Spin Hall Systems (aps.org)

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