Wannier函数与紧束缚模型的关系

对于周期性晶体，已知布洛赫态

$\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})$

Wannier 函数定义为其在整个布里渊区的傅里叶变换：

$w_n(\mathbf{r}-\mathbf{R}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{k}} e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})$

其中， $n$ 为能带指标， $\mathbf{R}$ 为晶格矢量。

在 Wannier 基底中，单电子哈密顿量可以写为：

$H = \sum_{\mathbf{R},\mathbf{R}'} \sum_{n,m} t_{nm}(\mathbf{R}-\mathbf{R}') c^\dagger_{\mathbf{R}n} c_{\mathbf{R}'m}$

其中跃迁矩阵元为：

$t_{nm}(\mathbf{R}-\mathbf{R}') =\langle w_{n\mathbf{R}} | \hat{H} | w_{m\mathbf{R}'} \rangle$

这是完全精确的表达，尚未做任何近似。

紧束缚模型是对跃迁范围的截断，例如保留在位能、近邻、次近邻等有限项。由于 Wannier 函数是局域的，远距离矩阵元自然快速衰减，因此这种截断在物理上是合理的。

另外，Wannier函数是不唯一的，这个不唯一性来自 Bloch 态的规范自由度。严格来说，紧束缚模型的大致物理图像为在最大局域 Wannier 基（MLWF）下对跃迁范围的截断。在对跃迁范围的截断后，得到的模型参数大概率已经很接近于紧束缚模型参数，但可能不完全相同，这是因为截断后模型存在误差，而紧束缚模型可以通过微调参数，从而继续拟合接近于未近似前的能带结构。

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