玻尔兹曼输运方程的推导

考虑经典粒子体系（如气体分子、电子等），定义单粒子分布函数： $f(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t)$

在 t 时刻，粒子出现在相空间体元 $d^3 r , d^3 p$ 内的粒子数为： $f(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t), d^3 r , d^3 p$

玻尔兹曼输运方程（Boltzmann Transport Equation, BTE）本质上是一个相空间连续性方程，相空间中的粒子数守恒意味着：

$\frac{d f}{d t} = 0$

展开全导数：

$\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial t}+ \dot{\mathbf{r}} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f+ \dot{\mathbf{p}} \cdot \nabla_{\mathbf{p}} f$

代入牛顿运动方程：

$\frac{\partial f}{\partial t}+ \mathbf{v} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f+ \mathbf{F} \cdot \nabla_{\mathbf{p}} f = 0$

这是无碰撞的玻尔兹曼输运方程。

真实体系中，粒子会发生碰撞，使分布函数发生变化：

$\frac{d f}{d t} = \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{coll}}$

所以：

$\frac{\partial f}{\partial t}+ \mathbf{v} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f+ \mathbf{F} \cdot \nabla_{\mathbf{p}} f= \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{coll}}$

这是玻尔兹曼输运方程的一般形式。

如果只考虑二体碰撞，以及分子混沌假设（Stosszahlansatz）： $f^{(2)}(\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2) = f(\mathbf{p}_1) f(\mathbf{p}_2)$

碰撞项可以写为（这里不展开讨论和证明）：

$\left( \frac{\partial f_1}{\partial t} \right)_{\text{coll}}=\int d^3 p_2 \int d\Omega ,|\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2| , \sigma(\Omega)\left[f_1' f_2' - f_1 f_2\right]]$