载流子浓度到电势分布推导

载流子浓度与能带的关系（玻尔兹曼分布近似）：

$n = n_i \exp\left(\frac{E_F - E_i}{kT}\right)$

$p = n_i \exp\left(\frac{E_i - E_F}{kT}\right)$

在热平衡下，空间中的本征能级分布为： $E_{i}(x) = E_{i0} - q\phi(x)$ ，其中 $\phi(x)$ 为相对于本征半导体（ $E_F=E_{i0}$ ， $\phi(x)=0$ ）的静电势。

n 型区（ $N_D \gg n_i$ ， $n \approx N_D$ ）：

$N_D = n_i \exp\left(\frac{q\phi}{kT}\right)$

解得：

$\phi_n = \frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_D}{n_i}\right)$

p 型区（ $N_A \gg n_i$ ， $p \approx N_A$ ）：

$N_A = n_i \exp\left(-\frac{q\phi}{kT}\right)$

解得：

$\phi_p = -\frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_A}{n_i}\right)$

PN 结内建电势：

$V_{bi} = \phi_n - \phi_p = \frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_D N_A}{n_i^2}\right)$

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