拓扑不变量, 学术

贝里曲率为实数的证明

贝里曲率(Berry curvature)是量子力学和凝聚态物理中的一个重要概念,通常用于描述参数空间中的几何相位和拓扑性质。本篇给出贝里曲率为实数的证明过程,如有错误欢迎留言指正。

贝里联络的定义为:

A_i(\mathbf{R}) = i\langle u(\mathbf{R}) | \partial_i u(\mathbf{R}) \rangle

贝里曲率定义为:

F_{ij}(\mathbf{R}) = \partial_i A_j(\mathbf{R}) - \partial_j A_i(\mathbf{R})

利用态矢量的正交归一性:\langle u(\mathbf{R}) | u(\mathbf{R}) \rangle = 1,于是有:\partial_i \langle u(\mathbf{R}) | u(\mathbf{R}) \rangle = 0,得到:

\langle \partial_i u(\mathbf{R}) | u(\mathbf{R}) \rangle = - \langle u(\mathbf{R}) | \partial_i u(\mathbf{R}) \rangle

可知 \langle u(\mathbf{R}) | \partial_i u(\mathbf{R}) \rangle 为纯虚数,因此,A_i^*(\mathbf{R}) = A_i(\mathbf{R}),即贝里联络为实数。于是,基于贝里联络求导的贝里曲率也为实数。这里的证明是基于极限导数的情况,如果是离散的数值计算,结果为复数,但虚部为趋于无穷小。

说明:在有的地方,可能贝里联络的定义没有前面的虚数 i,会把虚数 i 放在贝里曲率的定义中,那么贝里联络就是纯虚数。

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