学术, 其他笔记

群论的基础概念

以下是自己的一些群论笔记。

1. 群的定义

集合G称为群,如果G中的元素满足以下四个条件:

  1. 封闭性:\forall A, B \in G, \quad AB \in G
  2. 结合律:\forall A, B, C \in G, \quad (AB)C=A(BC)
  3. 恒元:\forall A \in G, \quad \exists E \in G, \quad AE=EA=A
  4. 逆元:\forall A \in G, \quad \exists A^{-1} \in G, \quad AA^{-1}=A^{-1}A=E

说明:这里的“元素”可以是任何的客体,“乘积”也可以是任意的运算法则。有限群中元素的个数被称为有限群的阶。

2. 阿贝尔群和非阿贝尔群

阿贝尔群:\forall A, B \in G, \quad AB=BA (“乘积”可交换)

非阿贝尔群:\exists A, B \in G, \quad AB \neq BA (“乘积”不可交换)

3. 子群

定义:如果群G中某些元素的集合(子集合)本身形成一个群H,那么该群H称为群G的子群,记为H \subset G

显然,群本身G和恒元E都是群G的子群。

4. 循环群

定理:在有限群G中,\forall A \in G,存在一个最小的整数n,使得A^{n}=E

证明过程:因为是有限群,所以元素A乘积到一定次数后,一定会回到某个元素上。令该元素为Y=A^{p}=A^{q},其中p>q。假设p=q+n,可以进一步写为Y=A^{q+n}=A^{q}=A^{q}A^{n},因此得到A^{n}=E

有了以上的定理,可以知道A的某n次方会得到恒元,这时候再乘一个A就回到的自身,形成了一个循环,于是有了下面循环群的定义。

循环群的定义:由元素A和元素A的幂次构成的群,称为由A生成的循环群,记作:C_n,其中n表示循环群的阶。

显然,循环群是阿贝尔群。

5. 有限群的乘法表

有限群中元素的“乘积”可以写成一个表格的形式,例如三阶循环群C_3

EAA^2
EEAA^2
AAA^2E
A^2A^2EA

6. 重排定理

重排定理:X是群G中任意的一个元素,把这个元素X和群G中所有的元素“相乘”(左乘或右乘),得到新的元素集合,这个集合仍然是群G。表达式可写为:X G  = G X = G

证明略,证明过程可看参考资料。

该定理说明了在乘法表的每一行或列中,所有元素只能出现一次。也就是每一行或列都是所有元素的重排。

7. 陪集(coset)

定义:设H是群G的子群,在群G中选取一个不在子群H元素X,把它左乘或右乘在子群H上,得到群G的两个子集:XH称为子群H的左陪集,HX称为子群H的右陪集。

陪集的性质:

(1)陪集与子群H没有公共元素。证明:以左陪集为例,假设左陪集XH和子群H存在公共元素,即XH_i=H_j,那么X=H_{j}H_i^{-1}\in H,与陪集的定义中X \notin H矛盾。证毕。

(2)可进一步得到:陪集中不包含恒元。也就是说陪集只是一个集合,不是一个群(不满足群的定义条件),更不是群G的子群。

(3)陪集定理:子群的两个右陪集(或左陪集),要么有完全相同的元素,要么没有任何公共元素。证明略。

(4)拉格朗日定理:群G的阶g一定是子群H的阶h的整数倍。证明略。

8. 不变子群(正规子群)

定义:若群G的子群H的所有左陪集都与对应的右陪集相等,则称子群H为不变子群。可以写成XH=HX,其中X\in G, X\notin H

显然,阿贝尔群的所有子群都是不变子群。

9. 共轭元素与类

共轭元素的定义:如果存在X\in G,使得B=XAX^{-1},则称元素AB共轭。

共轭元素性质:

(1)对称性:B=XAX^{-1},则A=X^{-1}BX,共轭是相互的。

(2)传递性:B=XAX^{-1}C=YBY^{-1},于是有C=YXAX^{-1}Y^{-1}=(YX)A(YX)^{-1}

类的定义:群G的所有相互共轭的元素集合组成G的一个类。

10. 商群

不变子群H及其所有陪集作为复元素的集合,若按复元素的乘积规则满足群的四个条件,该群称为群G关于不变子群H的商群,记作G/H

11. 群的同构关系(isomorphic)

若群G'G的所有元素间都按某种规则存在一一对应的关系(双射),且它们的乘积也按同一规则一一对应,则称两群同构。

12. 群的同态关系(homomorphic)

若群G'G的所有元素间都按某种规则存在一多对应关系(满射),即群G中任一元素都唯一对应G'中的一个确定元素,G'中任一元素至少对应G中一个元素,也可对应G中若干元素,且群元素的乘积也按同一规则一多对应,则称两群同态。

说明:同态有方向性,即G'G同态,不一定GG'同态。群G'只反映了群G的部分性质。

参考资料:

[1] GroupTheory: Application to the Physics of Condensed Matter (M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, A. Jorio)

[2] 国科大郭璐老师的《群论》课件

1,786 次浏览

【说明:本站主要是个人的一些笔记和代码分享,内容可能会不定期修改。为了使全网显示的始终是最新版本,这里的文章未经同意请勿转载。引用请注明出处:https://www.guanjihuan.com

评论说明:
(1)在保留浏览器缓存的前提下,目前支持72小时自主修改或删除个人评论。如果自己无法修改或删除评论,可再次评论或联系我。如有发现广告留言,请勿点击链接,博主会不定期删除。
(2)评论支持Latex公式。把latexpage作为标签放在任何位置,评论中的公式可正常编译,示例:
$Latex formula$  [latexpage]

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注