学术, 电子态密度

用格林函数计算态密度时费米能中虚部的取值

在用格林函数算态密度时,费米能E需要加一个无穷小的虚数项eta,即E'=E+i*eta。这个虚数项eta应该取多大呢?本篇主要讨论这个问题。

先列出结论:

  1. eta的取值不能太小。eta太小时由于计算精度不高,往往不能很好地显示出态密度分布。如果eta的取值比较小,态密度的计算精度也要相应地提高。此外,eta取一定的值在某种程度上可以掩盖住没必要的小带隙使得态密度连续,更容易体现出体的性质,忽略尺寸效应的影响。
  2. eta的取值不能太大。eta太大时由于能带的展宽,多个带之间的态密度分布相互接触,使得在能量方向上连续(即无带隙),这并不能反应出真实的能带情况。
  3. eta的取值至少要比能带中最小带隙还小一个数量级,才能反应出真实的能带情况。

下面是具体的讨论:

Part I:

在这篇博文“数值验证“波函数模平方分布”和“格林函数计算的态密度分布”的关系(附Python代码)”中,虚数项取的相对比较小,为eta=1e-15。结果为:

如果eta=1e-2,结果为:

可以看出:当eta取比较大时,虽然由格林函数计算得到的归一化态密度和波函数模的平方相比有一点偏移,但差别也不是太明显。因为费米能是固定在某一个值(在某个能级)上,所以并不能看到态密度的展宽情况。

Part II:

在这篇博文“方格子和石墨烯的态密度与费米能的关系(附Python代码)”中,eta的取值相对较大,eta取为0.1,结果为:

当eta=0.05时,结果为:

当eta=0.01时,结果为:

当eta=0.001时,结果为:

eta=0.001的结果显然有点问题,这是由于在代码中计算精度不高(在代码中plot_precision = 0.01)。

调高精度plot_precision = 0.0001,同时eta=0.001,计算结果为:

直接对方格子实空间的哈密顿量求本征值,得到100个离散的值:

通过以上的例子,可以得到第一个结论:eta的取值不能太小。eta太小时由于计算精度不高,往往不能很好地显示出态密度分布。如果eta的取值比较小,态密度的计算精度也要相应地提高。此外,eta取一定的值在某种程度上可以掩盖住没必要的小带隙使得态密度连续,更容易体现出体的性质,忽略尺寸效应的影响。

Part III:

在上面的例子中方格子的长宽都是10。为了更方便的说明问题,在接下来的计算中方格子的长宽都设为5。计算精度plot_precision = 0.0001。

当eta=0.001时,结果为:

当eta=0.01时,结果为:

当eta=0.1时,结果为:

直接对方格子实空间的哈密顿量求本征值,得到25个离散的值:

通过以上的例子,可以得到第二个结论:eta的取值不能太大。eta太大时由于能带的展宽,多个带之间的态密度分布相互接触,使得在能量方向上连续(无带隙),这并不能反应出真实的能带情况。

Part IV:

在接下来的计算中方格子的长宽都设为2。计算精度plot_precision = 0.0001。

对方格子求本征值,得到4个离散的值:

当eta=0.01时,结果为:

当eta=0.1时,结果为:

当eta=0.2时,结果为:

当eta=0.5时,结果为:

当eta=1.0时,结果为:

通过以上观察,可以得到第三个结论:eta的取值至少要比能带中最小带隙还小一个数量级,才能反应出真实的能带情况。

本篇只是经验上的分析。在参考资料[1]中有更详细的讨论,同时也讲出了虚数项的的物理意义。这里截图出第211页的一部分内容:

参考资料:

[1] Quantum Transport: Atom to Transistor (Supriyo Datta) 中第11页开始、第191页开始、第207页开始。

[2] Calculating Green functions from finite systems

[3] https://www.iue.tuwien.ac.at/phd/karamitaheri/node23.html

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