傅里叶变换：
反傅里叶变换：
1. 一维链的傅里叶变换过程
![\begin{aligned}H&=\sum_{<x,x'>} t |x'\rangle \langle x| \\&=\sum_{x} \big( t |x+a\rangle \langle x| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{x} \big[ t \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{ik'(x+a)}|k'\rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{-ikx}\langle k|+ \mathrm{H.c.}\big]\\&=\sum_{x} \big[ t\frac{1}{N}\sum_{k, k'}e^{i(k'-k)x+ik'a} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'} \big[ t e^{ik'a} \frac{1}{N}\sum_{x}e^{i(k'-k)x} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'} \big( t e^{ik'a} \delta_{k',k} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k} \big( t e^{ika} |k\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k} 2t\cos(ka) |k\rangle \langle k|\end{aligned}](https://www.guanjihuan.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9143b3fb33f7a82323923bc26938a420_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2. 一维链的反傅里叶变换过程
![\begin{aligned}&\quad \sum_{k}2t\cos(ka)|k\rangle\langle k| \\&=\sum_{k} t(e^{ika}+e^{-ika}) \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x'}e^{-ikx'}|x'\rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x}e^{ikx}\langle x|\\&=\sum_{k} t(e^{ika}+e^{-ika})\frac{1}{N}\sum_{x,x'}e^{ik(x-x')}|x'\rangle\langle x| \\&=t \sum_{x,x'} [ \frac{1}{N} \sum_{k} (e^{ika}+e^{-ika}) e^{ik(x-x')} ] |x'\rangle \langle x| \\&=t \sum_{x,x'} [ \frac{1}{N} \sum_{k} e^{ik(x-x'+a)}+ \frac{1}{N} \sum_{k} e^{ik(x-x'-a)} ] |x'\rangle \langle x| \\&=t \sum_{x,x'} [\delta_{x+a,x'}+ \delta_{x, x'+a} ] |x'\rangle \langle x| \\&=t \sum_{<x,x'>} |x'\rangle \langle x|\end{ aligned }](https://www.guanjihuan.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-999cd0865b09b6de57af08640b21cce8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3. 准一维条带（ribbon）的傅里叶变换过程
如果已知倒空间的哈密顿量，需要把k空间的哈密顿量反傅里叶变换到实空间中，得到跃迁项。而如果已知实空间的哈密顿量，那么就不用做这个步骤，直接可知跃迁项。
考虑准一维情况（有一定宽度，并且在某个方向上无限长），这时的元胞（最小重复单元）会变大。选定一组编号，把元胞当成整体，沿一个方向傅里叶变换（相当于沿一条链做傅里叶变换了），求本征值即可得到色散关系。
以准一维方格子为例，如下图所示：
其中红色虚线包围的是最小重复单元（这里圈出两个元胞）。
傅里叶变换的具体过程如下（元胞间的跃迁矩阵为
）：
![\begin{aligned}H&=\sum_{x} \big(H_{01} |x+a\rangle \langle x| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{x} \big[H_{01} \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{ik'(x+a)}|k'\rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{-ikx}\langle k|+ \mathrm{H.c.}\big]\\&=\sum_{x} \big[ H_{01}\frac{1}{N}\sum_{k, k'}e^{i(k'-k)+ik'a} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'} \big[ H_{01} e^{ik'a} \frac{1}{N}\sum_{x}e^{i(k'-k)} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'} \big( H_{01} e^{ik'a} \delta_{k',k} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k} \big( H_{01} e^{ika} |k\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k}\big(H_{01} e^{ika}+H_{01}^{\dagger}e^{-ika} \big) |k\rangle \langle k|\end{aligned}](https://www.guanjihuan.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2662d27d4ad2942cee7213b0005f944e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
如果为
，则变回
的形式。
此外，还要考虑元胞内部的哈密顿量
。这里省略了过程，结果如下：
代码例子：准一维方格子能带图（附Python代码）。
注：傅里叶变换时坐标可以用实际原子坐标，也可以用元胞坐标。用原子坐标时，傅里叶变量元胞内有些跃迁项会增加相位，即
；而用元胞坐标时，傅里叶变换元胞内就没有增加相位，即
。两种方法计算的结果是一样的，但建议用元胞坐标，会更方便些，尤其是当元胞比较大的时候会简单很多。 参考：以SSH模型为例子说明两种傅里叶变换方法。
4. 二维情况（两个方向上同时傅里叶变换）
（1） 正方格子哈密顿量的傅里叶变换
（2）石墨烯哈密顿量的傅里叶变换
（课件截图上传已经征求原作者同意。课件的主要技术内容就这两页。）
5. 在离散晶格中傅里叶变换常见的形式
（1）最近邻跃迁
（2）次近邻跃迁：
（3）斜对角跃迁：
其他参考资料：
[2] Fourier Series, Fourier Transforms and the Delta Function
[3] Fourier transform 总结（新链接：https://zqw.ink/posts/2018-09-07-physics-Fourier%20transform%20总结.html，失效链接：https://zqw.ink/2018/09/07/Fourier transform 总结/）
[4] 六角蜂窝格子紧束缚模型的计算
[5] Ji-Huan Guan博士学位论文
【说明：本站主要是个人的一些笔记和代码分享，内容可能会不定期修改。为了使全网显示的始终是最新版本，这里的文章未经同意请勿转载。引用请注明出处：https://www.guanjihuan.com】
老师，可以发一下张艳杨老师的课件吗
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呜呜，老师您如果方便的话，能不能也发我一份呢？您的资料对我太有帮助了呢^^ 总之谢谢您的分享~
如果方便的话
手动爱心
已发。
关老师您好，可以分享一下张艳阳老师的课件吗，如果时间太久您那里也没有了也，没关系，您的文章对我的帮助很大，非常感谢您
已发送。
收到了，感谢关老师
关老师，您的参考文献3傅里叶总结打不开，有新的链接吗？
嗯，对方博客更新，原链接失效了。新链接是：https://zqw.ink/posts/2018-09-07-physics-Fourier%20transform%20总结.html
关老师，也求一份课件，谢谢????
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收到，谢谢关老师
如果对正方格子这个模型稍加变化，四个格点组成的不是正方了，而是个斜的平行四边形，向下的跃迁还能标志成y到y+1吗
还是可以的表示的。只是可能跃迁积分会发生变化，或者傅里叶变换后包含kx和ky的形式不一样
关老师，为什么第一个正方格子那个格点没有考虑向左和向上的跃迁呢
不好意思，漏看了，应该是在厄米共轭里
是的
博主，你好。我想问一下：a.算石墨烯那一页第四个等号右边的第二项是胞间跃迁吧，那在考虑胞间跃迁的时，是以原胞整体考虑吗？还是一个原子一个原子的看，看它们能跃迁到另一个原胞的哪个位置。b.按照图示，胞间跃迁有四项，那f（k）不是应该也有四项吗。如果您太忙没时间解答，请略过呀。谢谢～
（a）是的，是胞间跃迁，这里是以整体做的傅里叶变换。当然，你也可以按原子来做傅里叶变换。（b）H.c. 表示厄密共轭，包含了另外两项。总共四项。
博主，你好！我想问一下，这个胞间跃迁是不是有重复求和啊
没有重复求和。A到B的跃迁、B到A的跃迁（由厄米共轭 H.c. 来表示）属于两个不同的跃迁。最终的哈密顿量是厄米的。
老师，麻烦您分享以下张老师的课件用于学习可以吗？谢谢老师啦！
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请问在哪可以看到呀？我也想学习。谢谢????
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老师，张老师的课件可以分享一下吗
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关博士您好，请问可以发一下张老师的课件吗。万分感激。
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老师您好，可以分享一下张艳阳老师的课件吗，谢谢啦
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老师，您好，可以分享一下张艳阳老师的课件吗，感谢感谢
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请问老师，一维傅里叶变换最后一步那个2应该不写才对吧？
要写的呀。H.c.表示厄密共轭。于是有：exp(ikx)+exp(-ikx)=2cos(kx)
谢谢关老师
老师您好，可以分享一下张艳阳老师的课件吗，谢谢啦
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可以的话能分享一下张老师课件吗，麻烦啦
另外笔记中石墨烯部分似乎有些问题，不过还是能看明白的
嗯，已发。大概思路是没问题的，可能表述和理解有差异。
老师您好，能发下张艳阳老师的课件吗
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老师您好，请问可以分享一下张艳阳老师的课件吗？谢谢您~
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老师您好，可以分享一下张艳阳老师的课件吗，谢谢啦
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老师您好，可以分享一下张艳阳老师的课件吗，谢谢啦
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您好，可以分享一下张艳阳老师的课件吗，谢谢啦。
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谢谢
您好。可以发一下张艳阳老师的课件吗，想学习一下，非常感谢！
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请问是否可以给我发一份张老师的课件，谢谢哦。邮箱 【邮箱信息隐藏】
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您好 ，可以发一份张老师的邮件吗
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