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准一维方格子能带图（附Python代码）

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最近修改时间：2023年9月22日

这里画出最简单的体系“方格子”在准一维情况下的能带图。下面是方格子的示意图（宽度为10，红虚线圈出了两个元胞）：

以宽度为3为例（图中画出的是宽度为10），写出实空间的哈密顿量：

\begin{aligned} H=&\sum_{x, \langle y, y' \rangle}|x, y \rangle \langle x, y'|+\sum_{\langle x, x' \rangle, y} |x, y \rangle \langle x', y| \\=&\sum_{x} \begin{pmatrix} |x, 0 \rangle, |x, 1 \rangle, |x, 2 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & t & 0\\ t & 0 & t\\ 0 & t &0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle x,0| \\ \langle x,1| \\ \langle x,2|\end{pmatrix} \\+& \sum_{\langle x, x' \rangle} \begin{pmatrix} |x, 0 \rangle, |x, 1 \rangle, |x, 2 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t & 0 & 0\\ 0& t & 0\\ 0 & 0 &t\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle x',0| \\ \langle x',1| \\ \langle x',2|\end{pmatrix} \end{aligned}

第一项是元胞内的跃迁项。第二项是元胞间的跃迁项，对所有最近邻的求和。

离散格子的傅里叶变换可以参考博文：离散格子的傅里叶变换和反傅里叶变换

这里只在一个方向做傅里叶变换。傅里叶变换后得到倒空间的哈密顿量为：

\begin{aligned}H=&\sum_{k_x}\begin{pmatrix}|k_x, 0 \rangle, |k_x, 1 \rangle,|k_x, 2 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & t & 0\\ t & 0 & t\\ 0 & t &0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle k_x, 0|\\ \langle k_x, 1| \\ \langle k_x, 2| \end{pmatrix}\\ + &\sum_{k_x} \begin{pmatrix}|k_x, 0 \rangle, |k_x, 1 \rangle,|k_x, 2 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2t\cos(k_x) & 0 & 0\\ 0& 2t\cos(k_x) & 0\\ 0 & 0 & 2t\cos(k_x) \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle k_x, 0|\\ \langle k_x, 1| \\ \langle k_x, 2| \end{pmatrix} \\=& \sum_{k_x} \begin{pmatrix}|k_x, 0 \rangle, |k_x, 1 \rangle,|k_x, 2 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2t\cos(k_x) & t & 0\\ t & 2t\cos(k_x) & t\\ 0 & t & 2t\cos(k_x) \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle k_x, 0|\\ \langle k_x, 1| \\ \langle k_x, 2| \end{pmatrix} \end{aligned}

代码如下：

"""
This code is supported by the website: https://www.guanjihuan.com
The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/3895
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import *
import cmath
import functools


def hamiltonian(k, N, t):  # 准一维方格子哈密顿量
    # 初始化为零矩阵
    h00 = np.zeros((N, N), dtype=complex)
    h01 = np.zeros((N, N), dtype=complex)
    for i in range(N-1):   # 原胞内的跃迁h00
        h00[i, i+1] = t
        h00[i+1, i] = t
    for i in range(N):   # 原胞间的跃迁h01
        h01[i, i] = t
    matrix = h00 + h01*cmath.exp(1j*k) + h01.transpose().conj()*cmath.exp(-1j*k)
    return matrix


def main():
    H_k = functools.partial(hamiltonian, N=10, t=1)
    k = np.linspace(-pi, pi, 300)
    plot_bands_one_dimension(k, H_k)


def plot_bands_one_dimension(k, hamiltonian):
    dim = hamiltonian(0).shape[0]
    dim_k = k.shape[0]
    eigenvalue_k = np.zeros((dim_k, dim))
    i0 = 0
    for k0 in k:
        matrix0 = hamiltonian(k0)
        eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(matrix0)
        eigenvalue_k[i0, :] = np.sort(np.real(eigenvalue[:]))
        i0 += 1
    for dim0 in range(dim):
        plt.plot(k, eigenvalue_k[:, dim0], '-k')
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    main()

能带为：

此外，如果是沿着斜对角方向的准一维条带，只要写出内部跃迁矩阵和元胞之间的跃迁矩阵后，傅里叶变换仍然类似于一维链的情况。如下图所示：

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20 thoughts on “准一维方格子能带图（附Python代码）”

    1. 嗯，都是可以的，看怎么定义了。这里说的宽度指的是元胞中有几个原子。

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  2. 关老师，我想问一个问题，不管是在方格子还是在六边形中，在使用哈密顿量求解边界态的时候，经常会有这样一个循环，我一直不太理解这是什么意思，可以请教一下吗？（MATLAB代码）
    num=101
    k=linspace(0,2,num);
    for i=1:num
    H=H00+H01*exp(1j*k(i)*pi)+H01'*exp(-1j*k(i)*pi);
    eigenvalue=eig(H);
    E(:,i)=eigenvalue;
    end

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  3. 您好！请问代码最后对特征能量数组进行储存的时候，为什么要加一个排序操作(np.sort)呢？

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  4. 博主，您好！对于这个模型，哈密顿量矩阵对角线上的量来自于胞间的跃迁，比如x1到x‘1为t，这个根据图是可以理解的。不过在您的另一篇博文中，有用到广州大学张艳阳老师课件的那一页，在给出石墨烯哈密顿量的时候，哈密顿量矩阵的主对角线上的元都为零。石墨烯不是也有胞间跃迁的嘛，为什么矩阵对角元上元素都为0呢？

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    1. 对于胞间跃迁，如果是编号i的位置到编号i的位置有跃迁，那么在主对角线上写。如果是编号i的位置到编号j (j≠i) 的位置有跃迁，那么不在主对角线上写，主对角线上可以为0。

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      1. 好的，谢谢关老师！请问这个模型有没有详细的书可以参阅呢？目前学得一知半解，也不能够自己独立推导出一个模型的哈密顿量。

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        1. 就是用这个方法写哈密顿量矩阵，不局限于石墨烯模型、方格子，请问哪本书有介绍呢

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          1. 我好像没有看到，你可以自己找一找。紧束缚模型直接写就是这个原理，对于具体材料的紧束缚模型需要从第一性原理计算给出。

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  5. 在元胞内采取周期性边界条件，对应矩阵的第一行末尾和最后一行起始元素都为t（而不是0）是否更加合理，那样的话由于更好的对称性系统能量将会产生简并。

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    1. 嗯，都可以的，看考虑的是什么问题。如果需要研究体态、忽略边缘态，可以这么考虑。

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  6. 楼主您好，请问假如原胞内的跃迁不是一个数而是一个矩阵，那么构建哈密顿量的时候怎么赋值呢？

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  8. 大神，想请教一个问题，对于两个方向都是有限的模型，比如你那篇方格子的哈密顿量，哈密顿量里面都是固定的跃迁系数，与k无关，如何画出他们的能带结构呢？

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    1. 能带是要求在某个方向是周期性的，这样才可以傅里叶变换，才有动量k。如果体系没有周期性，当然也可以把整个有限宽度和高度的体系当成元胞，在某个方向上周期性重复，这样也能画出能带，也能体现出该体系的性质。但这种情况能带的结构会比较乱，这是因为元胞内包含的自由度比较高，对应的带也就比较多了。

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