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由泡利矩阵组成的哈密顿量的本征值

由泡利矩阵组成的哈密顿量一般形式:

\begin{aligned}H&=a_0 \sigma_0 + a_1 \sigma_1 +a_2 \sigma_2+a_3 \sigma_3 \\&=\begin{pmatrix}a_0+a_3 &  a_1-i a_2\\a_1+i a_2 &  a_0-a_3\end{pmatrix}\end{aligned}

本征方程:H|\psi\rangle = E|\psi\rangle

本征值的形式为:E=a_0 \pm \sqrt{a_1^2 +a_2^2+a_3^2}

以上可自行推导或用Mathematica求解,MMA代码如下:

Clear["`*"]
H = ({{a0, 0}, {0, a0}}) + ({{a3, a1 - I*a2}, {a1 + I*a2, -a3}});
MatrixForm[H]
eigenvalue = MatrixForm[Simplify[Eigenvalues[H]]]
eigenvector = MatrixForm[Simplify[Eigenvectors[H]]]

运算结果:

参考资料:

[1] 泡利矩阵以及泡利矩阵的张量积

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