时间反演对称性和空间反演对称性下的贝里曲率

先给出结论：时间反演对称性下的贝里曲率是奇函数，空间反演对称性下的贝里曲率是偶函数[1]。具体表达式如下。

时间反演对称性下的贝里曲率：

$\bm{\Omega}_n(-\bm{k})=-\bm{\Omega}_n(\bm{k}).$

空间反演对称性下的贝里曲率：

$\bm{\Omega}_n(-\bm{k})=\bm{\Omega}_n(\bm{k}).$

所以，当同时满足时间反演对称性和空间反演对称性时，

$-\bm{\Omega}_n(\bm{k})=\bm{\Omega}_n(\bm{k}) \quad \Rightarrow \quad \bm{\Omega}_n(\bm{k}) = 0$

贝里曲率在每个k点都为零。

当满足时间反演对称性时，由于贝里曲率是奇函数，因此对布里渊区的积分为零，即陈数为零。如果需要陈数不为零，至少要打破时间反演对称性。

下面给出奇偶性的证明过程。

贝里联络的定义： $\bm{A}_n(\bm{k})=i \langle u_n(\bm{k}) | \frac{\partial}{\partial \bm{k} } |u_n(\bm{k}) \rangle$

贝里曲率的定义： $\bm{\Omega}_n(\bm{k})=\bm{\nabla}_{\bm{k}} \times \bm{A}_n(\bm{k})$

为了简化表达式，这里不妨只考虑 $z$ 方向的贝里曲率，并略去下标 $n$ ：

$\Omega_{z}(k_x, k_y})=\frac{\partial}{\partial k_x} i \langle u(k_x, k_y) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k_x, k_y) \rangle - \frac{\partial}{\partial k_y} i \langle u(k_x, k_y) | \frac{\partial}{\partial k_x } | u(k_x, k_y) \rangle$

以第一项为例，同时把 $(k_x, k_y)$ 简写成 $(k)$ ：

$\Omega_{1}(k})=\frac{\partial}{\partial k_x} i \langle u(k) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k) \rangle$

于是有：

$\begin{aligned}\Omega_{1}(-k})&=\frac{\partial}{\partial (-k_x)} i \langle u(-k) | \frac{\partial}{\partial (-k_y) } | u(-k) \rangle\\&=\frac{\partial}{\partial k_x} i \langle u(-k) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(-k) \rangle\end{aligned}$

对于具有时间反演对称性的系统，有 $u(-k)=u(k)^*$ ，得：

$\Omega_{1}(-k})&=\frac{\partial}{\partial k_x} i \langle u(k)^* | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k)^* \rangle$

用到“贝里曲率为实数”的已知结论，对整体求复数共轭，得：

$\begin{aligned}\Omega_{1}(-k})=\Omega_{1}^*(-k})&=\frac{\partial}{\partial (-k_x)} (-i) \langle u(k) | \frac{\partial}{\partial (-k_y) } | u(k) \rangle\\&=-\frac{\partial}{\partial k_x} i \langle u(k) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k) \rangle\\&=-\Omega_{1}(k})\end{aligned}$