拓扑不变量, 学术

时间反演对称性和空间反演对称性下的贝里曲率

先给出结论:时间反演对称性下的贝里曲率是奇函数,空间反演对称性下的贝里曲率是偶函数[1]。具体表达式如下。

时间反演对称性下的贝里曲率:

\bm{\Omega}_n(-\bm{k})=-\bm{\Omega}_n(\bm{k}).

空间反演对称性下的贝里曲率:

\bm{\Omega}_n(-\bm{k})=\bm{\Omega}_n(\bm{k}).

所以,当同时满足时间反演对称性和空间反演对称性时,

-\bm{\Omega}_n(\bm{k})=\bm{\Omega}_n(\bm{k}) \quad \Rightarrow \quad \bm{\Omega}_n(\bm{k}) = 0

贝里曲率在每个k点都为零。

当满足时间反演对称性时,由于贝里曲率是奇函数,因此对布里渊区的积分为零,即陈数为零。如果需要陈数不为零,至少要打破时间反演对称性。

下面给出奇偶性的证明过程。

贝里联络的定义:\bm{A}_n(\bm{k})=i \langle u_n(\bm{k}) | \frac{\partial}{\partial \bm{k} } |u_n(\bm{k}) \rangle

贝里曲率的定义:\bm{\Omega}_n(\bm{k})=\bm{\nabla}_{\bm{k}} \times \bm{A}_n(\bm{k})

为了简化表达式,这里不妨只考虑z方向的贝里曲率,并略去下标n

\Omega_{z}(k_x, k_y})=\frac{\partial}{\partial k_x} i  \langle u(k_x, k_y) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k_x, k_y) \rangle  -  \frac{\partial}{\partial k_y} i  \langle u(k_x, k_y) | \frac{\partial}{\partial k_x } | u(k_x, k_y) \rangle

以第一项为例,同时把(k_x, k_y)简写成(k)

\Omega_{1}(k})=\frac{\partial}{\partial k_x} i  \langle u(k) | \frac{\partial}{\partial k_y } |  u(k) \rangle

于是有:

\begin{aligned}\Omega_{1}(-k})&=\frac{\partial}{\partial (-k_x)} i  \langle u(-k) | \frac{\partial}{\partial (-k_y) } |  u(-k) \rangle\\&=\frac{\partial}{\partial k_x} i  \langle u(-k) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(-k) \rangle\end{aligned}

对于具有时间反演对称性的系统,有u(-k)=u(k)^*,得:

\Omega_{1}(-k})&=\frac{\partial}{\partial k_x} i  \langle u(k)^* | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k)^* \rangle

用到“贝里曲率为实数”的已知结论,对整体求复数共轭,得:

\begin{aligned}\Omega_{1}(-k})=\Omega_{1}^*(-k})&=\frac{\partial}{\partial (-k_x)} (-i)  \langle u(k) | \frac{\partial}{\partial (-k_y) } | u(k) \rangle\\&=-\frac{\partial}{\partial k_x} i  \langle u(k) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k) \rangle\\&=-\Omega_{1}(k})\end{aligned}

证毕。这里只考虑单独一条带的情况,对于简并的情况,参考资料[2]有提及,但没给出详细证明,这里也略。

对于具有空间反演对称性的系统,有u(-k)=u(k),得到贝里曲率为偶函数。

参考资料:

[1] Berry phase effects on electronic properties

[2] Bernevig and Hughes – 2013 – Topological Insulators and Topological Superconductor

[3] https://physics.stackexchange.com/questions/447447/berry-connection-and-time-reversal-symmetry

[4] https://physics.stackexchange.com/questions/296986/what-happens-to-berry-curvature-under-time-reversal-symmetries-in-band-structur

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8 thoughts on “时间反演对称性和空间反演对称性下的贝里曲率”

  1. 谢谢老师!所以说空间反演对称性并不是u(-k) = u(k), 而是u(-k) = [把r坐标反转之后的u(k)],是这样吗?(怕GPT生成的回答有误,需要确认一下)

  2. 同时满足时间反演、空间反演对称的周期性系统,u(-k)=u(k), u(-k)=u*(k), 那么u(k)=u*(k),也就是说u(k)是处处为实数的场。可是对于特定的k,周期性边界条件要求u(k)_1=u(k)_0*exp(i k r),因为exp(i k r)带虚部,就没法保证两个边界点的值u(k)_1, u(k)_0是实数了,这也就和u(k)处处为实数冲突了。想不明白这是怎么回事。

    1. 时间反演和空间反演对 e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} 也有作用,包括复数共轭、k取负,或者r取负。

      以下是 GPT-4o 的回答,供参考:

      在同时满足时间反演和空间反演对称的周期性系统中,布洛赫波函数具有特殊的对称性。具体来说,布洛赫波函数 \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) 在这些对称性的作用下,会满足一些对称关系。

      1. 时间反演对称性:时间反演对称性要求系统在时间反演操作下不变。时间反演操作会将动量 \mathbf{k} 变为 -\mathbf{k},并且还会将波函数复共轭。因此,对于时间反演对称性,我们有:
      \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \mathcal{T} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \psi^*_{-\mathbf{k}}(\mathbf{r})
      其中 \mathcal{T} 表示时间反演操作。

      2. 空间反演对称性:空间反演对称性要求系统在空间反演操作下不变。空间反演操作会将位置 \mathbf{r} 变为 -\mathbf{r},并且会改变动量的方向。因此,对于空间反演对称性,我们有:
      \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \mathcal{P} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \psi_{-\mathbf{k}}(-\mathbf{r})
      其中 \mathcal{P} 表示空间反演操作。

      在一个同时满足这两种对称性的系统中,布洛赫波函数需要同时满足这两种对称性。结合这两种对称性,可以得到以下关系:

      3. 结合时间反演和空间反演对称性:通过结合这两种对称性,可以得到:
      \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \psi^*_{-\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \psi^*_{\mathbf{k}}(-\mathbf{r})

      这意味着布洛赫波函数在复共轭和空间反演操作下保持不变。

      此外,对于布洛赫波函数的一般形式 \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}),其中 u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) 是周期函数,也可以推导出相应的对称性:

      时间反演对称性要求:

          \[   u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = u^*_{-\mathbf{k}}(\mathbf{r})   \]

      空间反演对称性要求:

          \[   u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = u_{-\mathbf{k}}(-\mathbf{r})   \]

      结合这两种对称性,可以进一步得到 u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) 在复共轭和空间反演下的不变性。

  3. 您好,请问在时间反演不变和空间反演不变的系统下,是否可以用自旋贝里曲率来表征拓扑不变量呢?

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