时间反演对称性和空间反演对称性下的贝里曲率

发布时间：2022年4月28日2024年6月17日

最近修改时间：2024年6月17日

先给出结论：时间反演对称性下的贝里曲率是奇函数，空间反演对称性下的贝里曲率是偶函数[1]。具体表达式如下。

时间反演对称性下的贝里曲率：

$\bm{\Omega}_n(-\bm{k})=-\bm{\Omega}_n(\bm{k}).$

空间反演对称性下的贝里曲率：

$\bm{\Omega}_n(-\bm{k})=\bm{\Omega}_n(\bm{k}).$

所以，当同时满足时间反演对称性和空间反演对称性时，

$-\bm{\Omega}_n(\bm{k})=\bm{\Omega}_n(\bm{k}) \quad \Rightarrow \quad \bm{\Omega}_n(\bm{k}) = 0$

贝里曲率在每个k点都为零。

当满足时间反演对称性时，由于贝里曲率是奇函数，因此对布里渊区的积分为零，即陈数为零。如果需要陈数不为零，至少要打破时间反演对称性。

下面给出奇偶性的证明过程。

贝里联络的定义： $\bm{A}_n(\bm{k})=i \langle u_n(\bm{k}) | \frac{\partial}{\partial \bm{k} } |u_n(\bm{k}) \rangle$

贝里曲率的定义： $\bm{\Omega}_n(\bm{k})=\bm{\nabla}_{\bm{k}} \times \bm{A}_n(\bm{k})$

为了简化表达式，这里不妨只考虑 $z$ 方向的贝里曲率，并略去下标 $n$ ：

$\Omega_{z}(k_x, k_y})=\frac{\partial}{\partial k_x} i \langle u(k_x, k_y) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k_x, k_y) \rangle - \frac{\partial}{\partial k_y} i \langle u(k_x, k_y) | \frac{\partial}{\partial k_x } | u(k_x, k_y) \rangle$

以第一项为例，同时把 $(k_x, k_y)$ 简写成 $(k)$ ：

$\Omega_{1}(k})=\frac{\partial}{\partial k_x} i \langle u(k) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k) \rangle$

于是有：

$\begin{aligned}\Omega_{1}(-k})&=\frac{\partial}{\partial (-k_x)} i \langle u(-k) | \frac{\partial}{\partial (-k_y) } | u(-k) \rangle\\&=\frac{\partial}{\partial k_x} i \langle u(-k) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(-k) \rangle\end{aligned}$

对于具有时间反演对称性的系统，有 $u(-k)=u(k)^*$ ，得：

$\Omega_{1}(-k})&=\frac{\partial}{\partial k_x} i \langle u(k)^* | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k)^* \rangle$

用到“贝里曲率为实数”的已知结论，对整体求复数共轭，得：

$\begin{aligned}\Omega_{1}(-k})=\Omega_{1}^*(-k})&=\frac{\partial}{\partial (-k_x)} (-i) \langle u(k) | \frac{\partial}{\partial (-k_y) } | u(k) \rangle\\&=-\frac{\partial}{\partial k_x} i \langle u(k) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k) \rangle\\&=-\Omega_{1}(k})\end{aligned}$

证毕。这里只考虑单独一条带的情况，对于简并的情况，参考资料[2]有提及，但没给出详细证明，这里也略。

对于具有空间反演对称性的系统，有 $u(-k)=u(k)$ ，得到贝里曲率为偶函数。

参考资料：

[1] Berry phase effects on electronic properties

[2] Bernevig and Hughes – 2013 – Topological Insulators and Topological Superconductor

[3] https://physics.stackexchange.com/questions/447447/berry-connection-and-time-reversal-symmetry

[4] https://physics.stackexchange.com/questions/296986/what-happens-to-berry-curvature-under-time-reversal-symmetries-in-band-structur

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8 thoughts on “时间反演对称性和空间反演对称性下的贝里曲率”

匿名说道：

2024年7月25日 01:09

谢谢老师！所以说空间反演对称性并不是u(-k) = u(k), 而是u(-k) = [把r坐标反转之后的u(k)]，是这样吗？（怕GPT生成的回答有误，需要确认一下）

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1. guanjihuan说道：
  
  2024年7月25日 03:07
  
  嗯，是的，我稍微看了下AI生成的回答，推导好像没太大问题。另外，可以参考：时间和空间反演操作对位置、动量、角动量的作用。
  
  我个人觉得是这样的，但不能百分百给你保证。如果还不放心，可以找一些教材或者搜一些文献看看，再确认下。
  
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匿名说道：

2024年7月24日 10:57

同时满足时间反演、空间反演对称的周期性系统，u(-k)=u(k), u(-k)=u*(k), 那么u(k)=u*(k)，也就是说u(k)是处处为实数的场。可是对于特定的k，周期性边界条件要求u(k)_1=u(k)_0*exp(i k r)，因为exp(i k r)带虚部，就没法保证两个边界点的值u(k)_1, u(k)_0是实数了，这也就和u(k)处处为实数冲突了。想不明白这是怎么回事。

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1. guanjihuan说道：
  
  2024年7月25日 00:46
  
  时间反演和空间反演对 $e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$ 也有作用，包括复数共轭、k取负，或者r取负。
  
  以下是 GPT-4o 的回答，供参考：
  
  在同时满足时间反演和空间反演对称的周期性系统中，布洛赫波函数具有特殊的对称性。具体来说，布洛赫波函数 $\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ 在这些对称性的作用下，会满足一些对称关系。
  
  1. 时间反演对称性：时间反演对称性要求系统在时间反演操作下不变。时间反演操作会将动量 $\mathbf{k}$ 变为 $-\mathbf{k}$ ，并且还会将波函数复共轭。因此，对于时间反演对称性，我们有：
  $\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \mathcal{T} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \psi^*_{-\mathbf{k}}(\mathbf{r})$
  其中 $\mathcal{T}$ 表示时间反演操作。
  
  2. 空间反演对称性：空间反演对称性要求系统在空间反演操作下不变。空间反演操作会将位置 $\mathbf{r}$ 变为 $-\mathbf{r}$ ，并且会改变动量的方向。因此，对于空间反演对称性，我们有：
  $\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \mathcal{P} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \psi_{-\mathbf{k}}(-\mathbf{r})$
  其中 $\mathcal{P}$ 表示空间反演操作。
  
  在一个同时满足这两种对称性的系统中，布洛赫波函数需要同时满足这两种对称性。结合这两种对称性，可以得到以下关系：
  
  3. 结合时间反演和空间反演对称性：通过结合这两种对称性，可以得到：
  $\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \psi^*_{-\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \psi^*_{\mathbf{k}}(-\mathbf{r})$
  
  这意味着布洛赫波函数在复共轭和空间反演操作下保持不变。
  
  此外，对于布洛赫波函数的一般形式 $\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ ，其中 $u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ 是周期函数，也可以推导出相应的对称性：
  
  时间反演对称性要求：
  
  $u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = u^*_{-\mathbf{k}}(\mathbf{r})$
  
  空间反演对称性要求：
  
  $u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = u_{-\mathbf{k}}(-\mathbf{r})$
  
  结合这两种对称性，可以进一步得到 $u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ 在复共轭和空间反演下的不变性。
  
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匿名说道：

2023年7月18日 22:56

您好，请问在时间反演不变和空间反演不变的系统下，是否可以用自旋贝里曲率来表征拓扑不变量呢？

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1. guanjihuan说道：
  
  2023年7月19日 02:00
  
  一般在自旋解耦合的情况下，可以有自旋陈数这个拓扑不变量。
  
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匿名说道：

2022年6月5日 21:06

如何判断一个紧束缚哈密顿了有没有TRS呢

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1. guanjihuan说道：
  
  2022年6月7日 12:46
  
  参考：https://topocondmat.org/w1_topointro/0d.html
  
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