先给出结论:时间反演对称性下的贝里曲率是奇函数,空间反演对称性下的贝里曲率是偶函数[1]。具体表达式如下。
时间反演对称性下的贝里曲率:
空间反演对称性下的贝里曲率:
所以,当同时满足时间反演对称性和空间反演对称性时,
贝里曲率在每个k点都为零。
当满足时间反演对称性时,由于贝里曲率是奇函数,因此对布里渊区的积分为零,即陈数为零。如果需要陈数不为零,至少要打破时间反演对称性。
下面给出奇偶性的证明过程。
贝里联络的定义:
贝里曲率的定义:
为了简化表达式,这里不妨只考虑方向的贝里曲率,并略去下标
:
以第一项为例,同时把简写成
:
于是有:
对于具有时间反演对称性的系统,有,得:
用到“贝里曲率为实数”的已知结论,对整体求复数共轭,得:
证毕。这里只考虑单独一条带的情况,对于简并的情况,参考资料[2]有提及,但没给出详细证明,这里也略。
对于具有空间反演对称性的系统,有,得到贝里曲率为偶函数。
参考资料:
[1] Berry phase effects on electronic properties
[2] Bernevig and Hughes – 2013 – Topological Insulators and Topological Superconductor
[3] https://physics.stackexchange.com/questions/447447/berry-connection-and-time-reversal-symmetry
[5] http://www-personal.umich.edu/~sunkai/teaching/Fall_2012/chapter3_part8.pdf
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如何判断一个紧束缚哈密顿了有没有TRS呢
参考:https://topocondmat.org/w1_topointro/0d.html