拓扑不变量, 学术

时间反演对称性和空间反演对称性下的贝里曲率

先给出结论:时间反演对称性下的贝里曲率是奇函数,空间反演对称性下的贝里曲率是偶函数[1]。具体表达式如下。

时间反演对称性下的贝里曲率:

\bm{\Omega}_n(-\bm{k})=-\bm{\Omega}_n(\bm{k}).

空间反演对称性下的贝里曲率:

\bm{\Omega}_n(-\bm{k})=\bm{\Omega}_n(\bm{k}).

所以,当同时满足时间反演对称性和空间反演对称性时,

-\bm{\Omega}_n(\bm{k})=\bm{\Omega}_n(\bm{k}) \quad \Rightarrow \quad \bm{\Omega}_n(\bm{k}) = 0

贝里曲率在每个k点都为零。

当满足时间反演对称性时,由于贝里曲率是奇函数,因此对布里渊区的积分为零,即陈数为零。如果需要陈数不为零,至少要打破时间反演对称性。

下面给出奇偶性的证明过程。

贝里联络的定义:\bm{A}_n(\bm{k})=i \langle u_n(\bm{k}) | \frac{\partial}{\partial \bm{k} } |u_n(\bm{k}) \rangle

贝里曲率的定义:\bm{\Omega}_n(\bm{k})=\bm{\nabla}_{\bm{k}} \times \bm{A}_n(\bm{k})

为了简化表达式,这里不妨只考虑z方向的贝里曲率,并略去下标n

\Omega_{z}(k_x, k_y})=\frac{\partial}{\partial k_x} i  \langle u(k_x, k_y) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k_x, k_y) \rangle  -  \frac{\partial}{\partial k_y} i  \langle u(k_x, k_y) | \frac{\partial}{\partial k_x } | u(k_x, k_y) \rangle

以第一项为例,同时把(k_x, k_y)简写成(k)

\Omega_{1}(k})=\frac{\partial}{\partial k_x} i  \langle u(k) | \frac{\partial}{\partial k_y } |  u(k) \rangle

于是有:

\begin{aligned}\Omega_{1}(-k})&=\frac{\partial}{\partial (-k_x)} i  \langle u(-k) | \frac{\partial}{\partial (-k_y) } |  u(-k) \rangle\\&=\frac{\partial}{\partial k_x} i  \langle u(-k) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(-k) \rangle\end{aligned}

对于具有时间反演对称性的系统,有u(-k)=u(k)^*,得:

\Omega_{1}(-k})&=\frac{\partial}{\partial k_x} i  \langle u(k)^* | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k)^* \rangle

用到“贝里曲率为实数”的已知结论,对整体求复数共轭,得:

\begin{aligned}\Omega_{1}(-k})=\Omega_{1}^*(-k})&=\frac{\partial}{\partial (-k_x)} (-i)  \langle u(k) | \frac{\partial}{\partial (-k_y) } | u(k) \rangle\\&=-\frac{\partial}{\partial k_x} i  \langle u(k) | \frac{\partial}{\partial k_y } | u(k) \rangle\\&=-\Omega_{1}(k})\end{aligned}

证毕。这里只考虑单独一条带的情况,对于简并的情况,参考资料[2]有提及,但没给出详细证明,这里也略。

对于具有空间反演对称性的系统,有u(-k)=u(k),得到贝里曲率为偶函数。

参考资料:

[1] Berry phase effects on electronic properties

[2] Bernevig and Hughes – 2013 – Topological Insulators and Topological Superconductor

[3] https://physics.stackexchange.com/questions/447447/berry-connection-and-time-reversal-symmetry

[4] https://physics.stackexchange.com/questions/296986/what-happens-to-berry-curvature-under-time-reversal-symmetries-in-band-structur

[5] http://www-personal.umich.edu/~sunkai/teaching/Fall_2012/chapter3_part8.pdf

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