学术, 其他笔记

纯态、混合态、纠缠态

本篇内容主要参考国科大金彪老师“高等量子力学”手稿课件。

1. 纯态

(1)纯态:|\psi(t)\rangle(可以是本征态,也可以是叠加态)

(2)纯态密度算符:\hat{\rho}(t)=|\psi(t)\rangle \langle \psi(t)|

(3)算符\hat{B}的平均值:

\begin{aligned}\langle\hat{B}\rangle&=\langle \psi(t)| \hat{B} |\psi(t) \rangle\\&=\sum_{n}\langle \psi(t)| \hat{B} | a_n\rangle \langle a_n |\psi(t) \rangle\\&=\sum_{n} \langle a_n |\psi(t) \rangle \langle \psi(t)| \hat{B} | a_n\rangle\\&=\sum_{n} \langle a_n |\hat{\rho}(t)\hat{B}|a_n \rangle \\&=\mathrm{Tr}[\hat{\rho}(t)\hat{B}]\end{aligned}

(4)性质:\mathrm{Tr}[\hat{\rho}(t)]=1,证明:

\begin{aligned}\mathrm{Tr}[\hat{\rho}(t)]&=\sum_n \langle a_{n}|\hat{\rho}(t)|a_n\rangle \\&=\sum_n \langle a_{n}|\psi(t)\rangle \langle \psi(t)|a_n\rangle\\&=\langle \psi(t)|a_n\rangle \langle a_{n}|\psi(t)\rangle\\&=\langle \psi(t) | \psi(t) \rangle =1\end{aligned}

(5)性质:\mathrm{Tr}[\hat{\rho}^{2}(t)]=1,证明:

\hat{\rho}^{2}=(|\psi(t)\rangle \langle \psi(t)|)(|\psi(t)\rangle \langle \psi(t)|)=|\psi(t)\rangle \langle \psi(t)|=\hat{\rho}

2. 混合态

(1)混合态中的参与态:|\psi_1(t)\rangle, |\psi_2(t)\rangle, ..., |\psi_N(t)\rangle;权重:P_1, P_2, ..., P_N

(2)混合态密度算符:\hat{\rho}(t)=\sum_{i=1}^{N} P_i |\psi_i(t)\rangle \langle \psi_i(t)|

(3)算符\hat{B}的平均值:\langle\hat{B}\rangle=\mathrm{Tr}[\hat{\rho}(t)\hat{B}],和纯态相同。证明过程类似,略。

(4)性质:\mathrm{Tr}[\hat{\rho}(t)]=1,和纯态相同。证明过程类似,略。

(5)性质:\hat{\rho}^2\neq\hat{\rho},证明:

\begin{aligned}\hat{\rho}^2&=(\sum_{l}P_l |\psi_l\rangle \langle \psi_l|) (\sum_{k}P_k |\psi_k\rangle \langle \psi_k|)\\&=\sum_l \sum_k P_l P_k |\psi_l\rangle \langle \psi_l|\psi_k\rangle \langle \psi_k|\end{aligned}

\langle \psi_l|\psi_k\rangle=\delta_{lk}的情况为例子:\hat{\rho}^2=\sum_l P_l^2 |\psi_l\rangle \langle \psi_l| \neq \hat{\rho}

(6)性质:\mathrm{Tr}[\hat{\rho}^2(t)]<1

证明略。在证明过程中要用到Schwartz不等式:| \langle \psi_k|\psi_l \rangle|^{2}<\langle \psi_k|\psi_k \rangle \langle \psi_l|\psi_l \rangle=1

(7)需要强调的是:叠加态是纯态,不是混合态。混合态的概念稍微比较不好理解,在之后的纠缠态约化密度矩阵那边会用到混合态的概念。

3. 纯态和混合态的例子

(1)纯态:|\psi\rangle  = \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle

纯态密度算符:

\hat{\rho}=|\psi\rangle \langle \psi|=\frac{1}{2}[|\uparrow\rangle\langle\uparrow|+|\uparrow\rangle\langle\downarrow| +|\downarrow\rangle\langle\uparrow|+|\downarrow\rangle\langle\downarrow|]

密度矩阵:

\rho=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

显然有:\rho^{\dagger}=\rho\mathrm{Tr}[\rho]=1\rho^{2}=\rho

(2)混合态:参与态|\uparrow\rangle|\downarrow\rangle;权重P_1=\frac{1}{2}, P_2=\frac{1}{2}

混合态密度算符:

\hat{\rho}=\frac{1}{2}|\uparrow\rangle\langle\uparrow|+\frac{1}{2}|\downarrow\rangle\langle\downarrow|

密度矩阵:

\rho=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

显然有:\rho^{\dagger}=\rho\mathrm{Tr}[\rho]=1\rho^{2}=\frac{1}{2}\rho\neq \rho\mathrm{Tr}[\rho^2]=\frac{1}{4}<1

4. 复合系统

(1)复合系统的基矢量由直积(张量积)构成:\{|u_i(1)\rangle \otimes |\nu_k(2)\rangle \},维度为N\timesM维。

(2)基矢量的内积:(\langle u_j | \otimes \langle\nu_l |)(|u_i\rangle \otimes |\nu_k\rangle)\equiv \langle u_j |u_i\rangle \langle\nu_l |\nu_k\rangle

(3)基矢量的正交性:(\langle u_j | \otimes \langle\nu_l |)(|u_i\rangle \otimes |\nu_k\rangle)=\delta_{ji}\delta_{lk}

(4)基矢量的完备性:\sum_{ik}(|u_i\rangle \otimes |\nu_k\rangle)(\langle u_i | \otimes \langle\nu_k |)=1

(5)部分内积:\langle u_j | (|u_i\rangle \otimes |\nu_k\rangle) = \langle u_j |u_i\rangle |\nu_k\rangle = \delta_{ij}|\nu_k\rangle

(6)外积:(|u_i\rangle \otimes |\nu_k\rangle)(\langle u_j | \otimes \langle\nu_l |)\equiv |u_i\rangle\langle u_j |\otimes |\nu_k\rangle\langle\nu_l |

(7)复合系统的算符:\hat{A}(1)\otimes \hat{B}(2)

\hat{A}(1)\otimes \hat{B}(2) |u_i(1)\rangle \otimes |\nu_k(2)\rangle \equiv \hat{A}(1)|u_i(1)\rangle \otimes \hat{B}(2)|\nu_k(2)\rangle

(8)算符\hat{A}(1)在直积空间中的表示:\hat{A}(1)\otimes \hat{I}(2),其中\hat{I}(2)为第二子空间的单位算符。类似:\hat{B}(2)\Rightarrow \hat{I}(1) \otimes \hat{B}(2)

(9)复合系统的态矢量(纯态):

\begin{aligned}|\psi(1,2)\rangle=&\sum_{ik}(|u_i\rangle \otimes |\nu_k\rangle)(\langle u_i | \otimes \langle\nu_k |\psi(1,2)\rangle\\&=\sum_{ik} c_{ik}(1,2)  |u_i\rangle \otimes |\nu_k\rangle\end{aligned}

(10)归一性:\langle \psi(1,2)|\psi(1,2)\rangle =1 \Rightarrow \sum_{ik} |c_{ik}(1,2)|^2=1

(11)密度算符:\hat{\rho}(1,2)=|\psi(1,2)\rangle\langle \psi(1,2)|

(12)约化密度算符:略

5. 纠缠态

|\psi(1,2)\rangle可分成两大类:

(1)可分离态:c_{ik}(1,2)=c_i(1)c_k(2),即:|\psi(1,2)\rangle=(\sum_{i} c_i(1) |u_i\rangle) \otimes (\sum_{k} c_k(2) |\nu_i\rangle)

(2)纠缠态:c_{ik}(1,2)\neq c_i(1)c_k(2)

判断|\psi(1,2)\rangle是可分离态还是纠缠态,需要考察约化密度矩阵是否是混合态密度矩阵。具体内容略。

6. 纠缠态的例子

Bell基:

更多参考:

[1] 关于纯态、混合态的个人理解

[2] 量子态和密度矩阵,迹和偏迹的数学表示

[3] Quantum entanglement - Wikipedia

[4] Bell state - Wikipedia

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2 thoughts on “纯态、混合态、纠缠态”

  1. 我想问问纠缠态就一定是纯态吗?我看到有的地方说对于纠缠态整体而言是纯态,而其子系统可以是混合态。有的地方又说纠缠态可以分为纠缠纯态和纠缠混态。这个问题我想不明白

    1. 对于完全分离的独立的系统,“纠缠态整体而言是纯态,而其子系统可以是混合态”这句话是对的,纠缠态子系统的约化密度矩阵为混合态。
      你说的“纠缠纯态和纠缠混态”的概念我不是很熟悉,没怎么了解,可以看看教科书或文献中怎么定义。我猜区别可能是指这个纠缠态是否和其他子系统有发生纠缠,没有和其他子系统发生纠缠的是纠缠纯态,有和其他子系统发生纠缠的是纠缠混态?我这个理解不一定对,供参考。

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