学术, 朗道能级

佩尔斯替换 Peierls substitution

1. Peierls substitution

在紧束缚模型下,磁场是通过Peierls substitution来引入的,即在跃迁项中多了一个相位

t_{ij} \to \mathrm{exp}(\frac{2\pi i}{\phi_0}\int_{i}^{j}d\vec{l}\cdot \vec{A}) t_{ij}

其中,\phi_0=\frac{h}{e}表示的是磁通量子,A表示的是磁势,i, j表示的是坐标位置。

这是之前的一篇:磁场和磁势的选取。这里以选取磁场为z方向为例,磁势可以选为\vec{A}=(-yB, 0, 0),于是Peierls substitution可以写为:

t_{x} \to \mathrm{exp}[\frac{2\pi i}{\phi_0}(-yBa)] t_{x}=\mathrm{exp}(-2\pi i n_{z} \frac{y}{a}) t_{x}

其中,a表示的是原子间距,n_z=\frac{Ba^2}{\phi_0}表示的是在每个元格a^2内磁通量子\phi_0的个数。

额外说明:对于非方格子的情况,磁通B*S中的面积S一般是二维体系的元胞面积。例如:通过计算石墨烯中的Peierls substitution,可以发现只有凑出一个六角格子的面积,才能使得Hofstadter蝴蝶在满一个周期时,某个跃迁在每个元胞中的的相位始终都是2pi的整数倍。也就是说如果某个元胞的某个跃迁的相位是零,那么在下一个元胞的相同的位置相位应该为2pi,这样整体体系才会完全重复。具体参考:六角格子的佩尔斯替换和石墨烯条带的Hofstadter蝴蝶(附Python代码)

2. 关于磁通量子的单位

根据公式B=F/(IL),磁场的单位可以通过以下换算:

\begin{aligned} 1T&=1N\cdot s/(C \cdot m)\\&=1N \cdot m \cdot s/(C \cdot m^2)\\&=1J \cdot s/(C \cdot m^2)\\&=\frac{1}{1.60217663410\times 10^{-19}}eV \cdot s/(C \codt m^2)\\&=\frac{1}{1.60217663410\times 10^{-1}}eV \cdot s/[C \codt (nm)^2]\\&=6.24150907407eV \cdot s/[C \codt (nm)^2]\end{aligned}

磁通量单位:1Wb=1T\cdot m^2=\frac{1}{1.60217663410\times 10^{-19}}eV \cdot s/C

普朗克常数h的单位:J\cdot seV \cdot s

磁通量子\phi_0=\frac{h}{e}的单位与磁通量的单位一致。

3. 关于磁通量子的大小

普朗克常数:h=4.1356676969\times 10^{-15}eV\cdot s

电荷:e=1.60217663410\times 10^{-19}C

磁通量子:

\begin{aligned}\phi_0=\frac{h}{e}&=\frac{4.1356676969\times 10^{-15}eV\cdot s}{1.60217663410\times 10^{-19}C}\\&=2.58128074575\times 10^{4}eV\cdot s/C\\&=4.1356676969\times 10^{-15}J\cdot s/C\\&=4.1356676969\times 10^{-15}Wb\end{aligned}

此外,磁通量子在文献中也经常定义为:

\phi_0=\frac{h}{2e}=2.067834\times 10^{-15}Wb

4. 每个元格a^2内磁通量子\phi_0的个数

假设a=1nm,磁场B=1T,每个元格a^2内磁通量子\phi_0的个数:

\begin{aligned}n_z=\frac{Ba^2}{\phi_0}&=\frac{1T\times 1(nm)^2}{2.58128074575\times 10^{4}eV\cdot s/C}\\&=\frac{6.24150907407eV \cdot s/[C \codt (nm)^2]\times 1(nm)^2}{2.58128074575\times 10^{4}eV\cdot s/C}\\&=2.4179892421 \times 10^{-4}\end{aligned}

5. 磁场大小的选取

在数值上,磁场一般选取为: B=\frac{1}{c}\frac{\phi_0}{a^2}。 其中,c是在数值上赋予的无量纲值。

c=1,原子间距a=1nm,那么对应的实际磁场大小为

\begin{aligned}B&=\frac{1}{c}\frac{\phi_0}{a^2}\\&=\frac{1}{1}\frac{2.58128074575\times 10^{4}eV\cdot s/C}{1(nm)^2}|\\&=2.58128074575\times 10^{4}eV\cdot s/[C \codt (nm)^2]\\&=\frac{2.58128074575\times 10^{4}}{6.24150907407}T\\&=4.1356677\times 10^{3}T\end{aligned}

  • 当原子间距a=0.5\mathrm{nm}c=1001/c=0.01),对应的实际磁场大小为B=165.44T
  • 当原子间距a=0.5\mathrm{nm}c=4001/c=0.0025),对应的实际磁场大小为B=41.36T
  • 当原子间距a=0.5\mathrm{nm}c=10001/c=0.001),对应的实际磁场大小为B=16.54T
  • 当原子间距a=0.5\mathrm{nm}c=100001/c=0.0001),对应的实际磁场大小为B=1.65T
  • 当原子间距a=1\mathrm{nm}c=1001/c=0.01),对应的实际磁场大小为B=41.36T
  • 当原子间距a=1\mathrm{nm}c=4001/c=0.0025),对应的实际磁场大小为B=10.34T
  • 当原子间距a=2\mathrm{nm}c=4001/c=0.0025),对应的实际磁场大小为B=2.59T

参考资料:

[1] R. E. Peierls, Z. Phys. 80, 763 (1933)

[2] Energy levels and wave functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields

[3] Three-dimensional topological insulator in a magnetic field: chiral side surface states and quantized Hall conductance

[4] Magnetic-field effects on localization in a fractal lattice

[5] Magnetoconductance of the quantum spin Hall state

[6] 百度百科:普朗克常数

[7] 百度百科:磁通量量子

[8] 百度百科:基本电荷

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6 thoughts on “佩尔斯替换 Peierls substitution”

  1. 请问这句话是什么意思(某个跃迁在每个元胞中的的相位始终都是2pi的整数倍)?对于方格子在一个原胞一周的相位是2*pi*nz/a吗?

    1. 当磁场加到一定的值时,会进入下一个Hofstadter蝴蝶周期,这时候整个体系应该是完全一样的。在这个新周期,如果某个元胞的某个跃迁的相位是零,那么在下一个元胞的相同的位置相位应该为2pi,这样才会完全重复。

      方格子元胞一周的相位应该是2*pi*nz。

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