np.linalg.eig和np.linalg.eigh的区别

np.linalg.eig文档：https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.eig.html

np.linalg.eigh文档：https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.eigh.html

1. np.linalg.eig

Compute the eigenvalues and right eigenvectors of a square array

特点：

（1）可以计算任意矩阵的特征值和特征向量。

（2）特征值没有按大小排序，需自行根据实部排序。

（3）对于相同特征值的情况，得到的特征向量不相互正交，甚至不线性无关。

2. np.linalg.eigh

Return the eigenvalues and eigenvectors of a complex Hermitian (conjugate symmetric) or a real symmetric matrix.

特点：

（1）计算厄密矩阵或实对称矩阵的特征值和特征向量，即特征值一定为实数。

（2）特征值已按大小排序，从小到大。

（3）对于相同特征值的情况，得到的特征向量相互正交。

3. 结论

在已知是厄密矩阵（包括实对称矩阵）的情况下，最好使用np.linalg.eigh，可以避免相同特征值对应的特征向量线性相关和不正交的情况，同时特征值也经过了排序。

4. 代码测试

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"""

import numpy as np

def hamiltonian(width=2, length=2):
    h00 = np.zeros((width*length, width*length))
    for i0 in range(length):
        for j0 in range(width-1):
            h00[i0*width+j0, i0*width+j0+1] = 1
            h00[i0*width+j0+1, i0*width+j0] = 1
    for i0 in range(length-1):
        for j0 in range(width):
            h00[i0*width+j0, (i0+1)*width+j0] = 1
            h00[(i0+1)*width+j0, i0*width+j0] = 1
    return h00

print('矩阵：\n', hamiltonian(), '\n')

eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(hamiltonian())
print('eig求解特征值：', eigenvalue)
print('eig求解特征向量：\n',eigenvector)
print('判断特征向量是否正交：\n', np.dot(eigenvector.transpose(), eigenvector))

print()

eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eigh(hamiltonian())
print('eigh求解特征值：', eigenvalue)
print('eigh求解特征向量：\n',eigenvector)
print('判断特征向量是否正交：\n', np.dot(eigenvector.transpose(), eigenvector))

计算结果：

可以看出用eig求解时，特征值没有排序，且特征值相同时，无法得到线性无关和相互正交的特征向量。

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