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在三种音律中音阶的频率比例关系

在乐理中有以下的音程概念:

  1. 极完全协和音程:纯一度,纯八度
  2. 完全协和音程:纯四度,纯五度
  3. 不完全协和音程:大小三,大小六
  4. 极不协和音程:大小二、大小七以及所有的增,减,倍增,倍减音程。

这里将给出在三种音律中音阶的频率比例关系,从而可以直观了解不同音程给人以不同感受的物理机制。

1. 五度相生律(或称为三分损益律)

管仲的三分损益律(中国)产生五个音:“宫、商、角、徵、羽”(读音为gōng shāng jué zhǐ yǔ),类似简谱中的1、2、3、5、6。即宫等于1(Do),商等于2(Re),角等于3(Mi),徵等于5(Sol),羽等于6(La),亦称作五音。可参考:音乐也有科学道理?哆唻咪到底是咋定的?李永乐老师讲乐理知识

毕达哥拉斯的五度相生律(西方)规定五度音的频率之比为2:3,其他音程都由若干个五度产生。这里讲五度相生律的方法。

假设Do(1,宫)的频率为X,向上推五度有:

  • Sol(5,徵)的频率为\frac{3}{2}X
  • Re(2,商)为\frac{3}{2}\frac{3}{2}X=\frac{9}{4}X,超过了一个八度的频率2X,因为一个八度的频率比刚好是2倍关系,所以Re的频率为\frac{9}{8}X
  • La(6,羽)的频率为\frac{9}{8}\frac{3}{2}X=\frac{27}{16}X
  • Mi(3,角)为\frac{27}{16}\frac{3}{2}X=\frac{81}{32}X,超过了一个八度的频率2X,因为一个八度的频率比刚好是2倍关系,所以Mi的频率为\frac{81}{64}X
  • Ti(7)的频率为\frac{91}{64}\frac{3}{2}X=\frac{243}{128}X

向下推五度有:

  • Fa(4)为\frac{2}{3}X,低于X,因为一个八度的频率比刚好是2倍关系,所以Fa的频率为\frac{4}{3}X
  • ^\#La^bTi^{\#}6^b7)为\frac{4}{3}\frac{2}{3}X=\frac{8}{9}X,低于X,因为一个八度的频率比刚好是2倍关系,所以^\#La^bTi的频率为\frac{16}{9}X
  • ^\#Re^bMi^\#2^b3)的频率为\frac{16}{9}\frac{2}{3}X=\frac{32}{27}X
  • ^\#Sol^bLa^\#5^b6)为\frac{32}{27}\frac{2}{3}X=\frac{64}{81}X,低于X,因为一个八度的频率比刚好是2倍关系,所以^\#Sol^bLa的频率为\frac{128}{81}X
  • ^\#Do^bRe^\#1^b2)的频率为\frac{128}{81}\frac{2}{3}X=\frac{256}{243}X
  • ^\#Fa^bSol^\#4^b5)的频率为\frac{256}{243}\frac{2}{3}X=\frac{512}{729}X,低于X,因为一个八度的频率比刚好是2倍关系,所以^\#Fa^bSol的频率为\frac{1024}{729}

总结为动图:

该图片来源于参考资料[7]。

总结为表格:

音阶Do^\#DoRe^\#ReMiFa^\#FaSol^\#SolLa^\#LaTiDo
频率X\frac{256}{243}X\frac{9}{8}X\frac{32}{27}X\frac{81}{64}X\frac{4}{3}X\frac{1024}{729}\frac{3}{2}X\frac{128}{81}X\frac{27}{16}X\frac{16}{9}X\frac{243}{128}X2X

2. 纯律

纯律与五度相生律不同的是,除了规定纯五度音程频率之比为2:3以外,同时规定构成大三度的两个音频率比为4:5,这样制定出各个音高。这时候频率可以变成更加简单的整数比,声音听起来会更“纯”一点。

由于既考虑了比值2:3,又考虑了比值4:5,所以产生12音阶的纯律会比较复杂一些,参照:知乎:为什么找不到 12 音阶的纯律?

这里给出7音阶的纯律(不详细推导了,有变化的是MiLaTi三个音):

音阶DoReMiFaSolLaTiDo
五度相生律的频率X\frac{9}{8}X\frac{81}{64}X\frac{4}{3}X\frac{3}{2}X\frac{27}{16}X\frac{243}{128}X2X
纯律的频率X\frac{9}{8}X\frac{5}{4}X\frac{4}{3}X\frac{3}{2}X\frac{5}{3}X\frac{15}{8}X2X

3. 十二平均律

上面两种音律都不好转调,当换一个调后比值会全乱掉,而十二平均律就没有转调这个问题。将X频率和2X频率之间的区域按比例十二等分,相邻的两个音的频率倍数为:2^{\frac{1}{12}}

总结为表格:

音阶Do^\#DoRe^\#ReMiFa^\#FaSol^\#SolLa^\#LaTiDo
频率X2^{\frac{1}{12}}X2^{\frac{2}{12}}X2^{\frac{3}{12}}X2^{\frac{4}{12}}X2^{\frac{5}{12}}X2^{\frac{6}{12}}X2^{\frac{7}{12}}X2^{\frac{8}{12}}X2^{\frac{9}{12}}X2^{\frac{10}{12}}X2^{\frac{11}{12}}X2X

4. 七个音阶的频率数值

Python代码为:

print('音阶','  ','五度相生律','      ','纯律','      ','十二平均律')
print('Do %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(1,1,1))
print('Re %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(9/8,9/8,2**(2/12)))
print('Mi %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(81/64,5/4,2**(4/12)))
print('Fa %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(4/3,4/3,2**(5/12)))
print('Sol%13.5f  %13.5f  %13.5f'%(3/2,3/2,2**(7/12)))
print('La %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(27/16,5/3,2**(9/12)))
print('Ti %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(243/128,15/8,2**(11/12)))
print('Do %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(2,2,2))

运行结果为:

摘抄出来写成表格形式:

音阶五度相生律纯律十二平均律
Do1.000001.000001.00000
Re1.125001.125001.12246
Mi1.265621.250001.25992
Fa1.333331.333331.33484
Sol1.500001.500001.49831
La1.687501.666671.68179
Ti1.898441.875001.88775
Do2.000002.000002.00000

5. 三种音律的对比图:

该图片来源于参考资料[7]

参考资料:

[1] 百度百科:协和音程

[2] 音律计算法比较及三种律制音阶音分值的简易计算法

[3] 百度百科:宫商角徵羽

[4] 百度百科:三分损益法

[5] 百度百科:纯律

[6] 百度百科:十二平均律

[7] 知乎:请分别说明五度相生律、三分损益法、纯律、十二平均律这四种律制的优点及缺点?

[8] 知乎:纯律、五度相生律和十二平均律是如何产生的?三种律制之间有何关系?

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2 thoughts on “在三种音律中音阶的频率比例关系”

  1. 我在计算时用【弦长】,不用【音程系数】
    这样,在Excel显示就可以是 真分数,其倒数就是音程系数。很直观
    (用音程系数,显示的是带分数,不直观,如您所示)
    用弦长,计算音分数,与用音程系数计算 是一样的——绝对值相等。
    推算纯律某音的频率,用 1/弦长 即可 (弦长与音程系数 互为倒数)

    1. 嗯,应该是可以的,弦长在视觉上更直观些。频率和弦长是反比关系,还需要一个系数。

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