学术, 朗道能级

用粒子数算符求解朗道能级

这是之前的两篇:二维电子气的朗道能级狄拉克电子朗道能级的根号N分布

本篇用粒子数算符求解朗道能级。

1. 二维电子气的朗道能级

以二维电子气为例,哈密顿量为:

H=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}

参考之前的博文,在磁场下:

H=\frac{(p_x+eBy)^2+p_y^2}{2m}

存在关系:

[\Pi_x, \Pi_y]=[p_x+eBy, p_y]=eB[y, p_y]=ieB\hbar

定义:

a=\sqrt{\frac{1}{2eB\hbar}}[(p_x+eBy)+ip_y]

a^{\dagger}=\sqrt{\frac{1}{2eB\hbar}}[(p_x+eBy)-ip_y]

aa^{\dagger}满足对易关系:

[a, a^{\dagger}]=\frac{1}{2eB\hbar}[\Pi_x+i \Pi_y, \Pi_x-i\Pi_y]=\frac{1}{2eB\hbar}(-i[\Pi_x, \Pi_y]+i[\Pi_y, \Pi_x])=1

a^{\dagger}a为粒子数算符,展开写成:

\begin{aligned} a^{\dagger}a&=\frac{1}{2eB\hbar}[(p_x+eBy)-ip_y][(p_x+eBy)+ip_y]\\&=\frac{1}{2eB\hbar}[(p_x+eBy)^2+p_y^2-eB\hbar]\\&=\frac{1}{2eB\hbar}[(p_x+eBy)^2+p_y^2]-\frac{1}{2}\end{aligned}

哈密顿量可以由a^{\dagger}a来表示:

H=\frac{1}{2m}[(p_x+eBy)^2+p_y^2]=\frac{eB\hbar}{m}\frac{1}{2eB\hbar}[(p_x+eBy)^2+p_y^2]=\hbar \omega (a^{\dagger}a+\frac{1}{2})

其中,\omega=\frac{eB}{m}。于是,朗道能级为:E=\hbar \omega (n+\frac{1}{2})

2. 狄拉克费米子的朗道能级

狄拉克电子最小哈密顿量:

H=v_F \hbar (k_x \sigma_x+k_y \sigma_y)

参考之前的博文,在磁场下:

v_F \begin{pmatrix}0 & p_x+eBy-i p_y \\p_x+eBy+i p_y & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\psi_A \\ \psi_B \end{pmatrix}=E \begin{pmatrix}\psi_A \\ \psi_B \end{pmatrix}

同上,定义:

a=\sqrt{\frac{1}{2eB\hbar}}[(p_x+eBy)+ip_y]

a^{\dagger}=\sqrt{\frac{1}{2eB\hbar}}[(p_x+eBy)-ip_y]

于是有:

v_F \sqrt{2eB\hbar} \begin{pmatrix}0 & a^{\dagger} \\a & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\psi_A \\ \psi_B \end{pmatrix}=E \begin{pmatrix}\psi_A \\ \psi_B \end{pmatrix}

朗道能级:E=\pm\sqrt{2eB\hbar v_F^2 n}

参考资料:

[1] 季燕江《量子力学讲义》的4.2节、6.5节、8.3节

[2] http://hitoshi.berkeley.edu/221a/landau.pdf

[3] http://web.physics.ucsb.edu/~phys123B/w2015/lecture5.pdf

[4] http://bingweb.binghamton.edu/~suzuki/QuantumMechanicsII/14-5_Landau_level.pdf

1,309 次浏览

【说明:本站主要是个人的一些笔记和代码分享,内容可能会不定期修改。为了使全网显示的始终是最新版本,这里的文章未经同意请勿转载。引用请注明出处:https://www.guanjihuan.com

评论说明:
(1)在保留浏览器缓存的前提下,目前支持72小时自主修改或删除个人评论。如果自己无法修改或删除评论,可再次评论或联系我。如有发现广告留言,请勿点击链接,博主会不定期删除。
(2)评论支持Latex公式。把latexpage作为标签放在任何位置,评论中的公式可正常编译,示例:
$Latex formula$  [latexpage]

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注