玻尔兹曼输运方程到漂移-扩散模型的大致推导

这是之前的两篇：

本篇推导玻尔兹曼输运方程到漂移-扩散模型的变化过程（不完整），从中可以大致其中做的一些近似。证明方法有线性响应理论和矩方法等，这里给出的是前者。

玻尔兹曼输运方程：

$\frac{\partial f}{\partial t}+ \mathbf{v} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f+ \mathbf{F} \cdot \nabla_{\mathbf{p}} f= \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{coll}}$

弛豫时间近似（Relaxation-Time Approximation, RTA）：

$\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}} = -\frac{f - f_0}{\tau}$

其中，表达式中的负号表示系统总是受到一个“恢复力”，驱使分布函数回到平衡，恢复力与偏离方向相反。“弛豫”（Relaxation）在物理学中指的是：一个系统从非平衡态自发地恢复到平衡态的过程。

考虑稳态情况： $\frac{\partial f}{\partial t} = 0$

玻尔兹曼输运方程写为：

$\mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f+ \frac{q\mathbf{E}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f_0}{\tau} \tag{1}$

弱非平衡展开（假设电场、浓度梯度都不大）：

$f = f_0 + f_1,\quad |f_1|\ll f_0$

代入前面式子：

$\mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} (f_0 + f_1) + \frac{q\mathbf{E}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} (f_0 + f_1) = -\frac{f_1}{\tau}$

$f_1$ 本身已经是一阶小量，考虑线性响应，只保留一阶项，因此 $f_1$ 的求导项可以扔掉。

于是得到：

$\mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f_0 + \frac{q\mathbf{E}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f_0 = -\frac{f_1}{\tau}$

即：

$f_1 = -\tau\left( \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f_0+ \frac{q\mathbf{E}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f_0\right) }$

其中，平衡态为：

$f_0(\mathbf{r},\mathbf{k})=\frac{1}{\exp\left(\frac{E(\mathbf{k})-\mu(\mathbf{r})}{k_B T}\right)+1}$

下面计算两个梯度。

（1）k 空间梯度

$\nabla_{\mathbf{k}} f_0= \frac{\partial f_0}{\partial E}\nabla_{\mathbf{k}} E$

$\nabla_{\mathbf{k}} E = \hbar \mathbf{v}$

所以：

$\nabla_{\mathbf{k}} f_0 = \hbar \mathbf{v}\frac{\partial f_0}{\partial E}$

（2）实空间梯度

$\nabla_{\mathbf{r}} f_0= \frac{\partial f_0}{\partial \mu}\nabla_{\mathbf{r}} \mu$

$\frac{\partial f_0}{\partial \mu} = -\frac{\partial f_0}{\partial E}$

所以：

$\nabla_{\mathbf{r}} f_0= -\frac{\partial f_0}{\partial E}\nabla_{\mathbf{r}} \mu$

两个梯度代入上面的公式，得到：

$f_1= -\tau \frac{\partial f_0}{\partial E} \mathbf{v}\cdot \left(q\mathbf{E} - \nabla_{\mathbf{r}} \mu \right)$

电流密度：

$\mathbf{J} = q\int \mathbf{v} f d\mathbf{k}$

平衡部分：

$\int \mathbf{v} f_0 d\mathbf{k} = 0$

所以：

$\mathbf{J} = q\int \mathbf{v} f_1 d\mathbf{k}$

代入得到：

$\mathbf{J} = -q\tau \int\mathbf{v}\mathbf{v}\frac{\partial f_0}{\partial E}d\mathbf{k}\cdot\left( q\mathbf{E}- \nabla \mu \right)$

到这里已经有了漂移-扩散模型的大致雏形。

继续往下推导会有点繁琐，这里暂时忽略。大概需要用到“各向同性简化积分，得到标量形式”、“将对化学式的求导转换成对浓度的求导”、“扩散系数 D 和迁移率 μ 的引入”等。

最终会得到漂移-扩散模型中的电子电流密度：

$\mathbf{J}_n = q (\mu_n n \mathbf{E} + D_n \nabla n)$

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