量子力学中的三个绘景

一、薛定谔绘景

在外场 $\hat{V}(t)$ 的作用下，哈密顿量 $\hat{H}(t)$ 随时间变化。

1. 态矢量

态矢量： $|\psi_S(t)\rangle =|\psi(t)\rangle$

薛定谔方程： $i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat{H}(t) |\psi(t)\rangle$

2. 算符

在薛定谔绘景下，规定算符 $\hat{A}_S(t)$ （除 $\hat{V}(t)$ 外）不随时间变化，即： $\frac{\partial}{\partial t} \hat{A}_S(t) =0$

3. 算符平均值

算符 $\hat{A}_S(t)$ 的平均值为： $\langle \hat{A}_S(t) \rangle = \langle\psi_S(t)| \hat{A}_S(t) |\psi_S(t)\rangle$

当该平均值为守恒量时，有： $i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle \hat{A}_S(t) \rangle = \langle\psi_S(t)| \big\{ [\hat{A}_S(t), \hat{H}(t)]+i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat{A}_S(t)]\big\}|\psi_S(t)\rangle=0$

于是得到： $[\hat{A}_S(t), \hat{H}(t)]=0$

4. 表象基矢

以 $\hat{A}$ 作为表象，基矢为 $\{|a_n\rangle\}$ 。

本征方程： $\hat{A}|a_n\rangle = a_n |a_n\rangle$

正交归一： $\langle a_{n'}|a_n\rangle=\delta_{n'n} \quad \sum_{n}|a_n\rangle\langle a_n|=1$

在薛定谔绘景下，态矢量随时间变化，基矢不随时间变化。

二、海森堡绘景

1. 态矢量

态矢量： $|\psi_H(t)\rangle =\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle$

当 $t=t_0$ 时， $|\psi_H(t_0)\rangle =|\psi_S(t_0)\rangle$

逆关系： $|\psi_S(t)\rangle =\hat{U}(t, t_0)|\psi_H(t)\rangle$

态矢量关系使用两次： $|\psi_H(t)\rangle =\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{U}(t, t_0)|\psi_H(t)\rangle$

得到 $\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{U}(t, t_0)=1$

在薛定谔绘景下，规定态矢量不随时间变化，即： $\frac{\partial}{\partial t} |\psi_H(t)\rangle = 0$

2. 算符

算符： $\hat{A}_H(t)=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}(t, t_0)$

当 $t=t_0$ 时， $\hat{A}_H(t_0)=\hat{A}_S(t_0)$

算符随时间演化：

$\begin{aligned}i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_H(t) &=i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\big[\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}(t, t_0)\big]\\&=[\hat{A}_H(t), \hat{H}_H(t)]+i\hbar[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_H\end{aligned}$

其中：

$\hat{H}_H(t)=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{H}(t)\hat{U}(t, t_0)$

$[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_H=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]\hat{U}(t, t_0)$

算符随时间演化的方程称为海森堡方程，初始条件为： $\hat{A}_H(t_0)=\hat{A}_S(t_0)$ 。

3. 算符平均值

算符 $\hat{A}_H(t)$ 的平均值为：

$\begin{aligned}\langle \hat{A}_H(t) \rangle &=\langle \psi_H(t)| \hat{A}_H(t) |\psi_H(t)\rangle\\&=\langle \psi_S(t)| \hat{U}(t, t_0)\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t) \hat{U}(t, t_0)\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle\\&=\langle \psi_S(t)| \hat{A}_S(t) |\psi_S(t)\rangle\end{aligned}$

4. 表象基矢

以 $\hat{A}$ 作为表象，基矢为 $\{|a_n(t)\rangle_H\}$ 。

本征方程： $\hat{A}_H(t)|a_n(t)\rangle_H=a_n |a_n(t)\rangle_H$

其中： $|a_n(t)\rangle_H=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|a_n\rangle$

之所以本征值是 $a_n$ ，这是因为：

$\begin{aligned} \hat{A}_H(t)|a_n(t)\rangle_H &=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}(t, t_0)\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|a_n\rangle \\&=a_n\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|a_n\rangle\\&=a_n |a_n(t)\rangle_H \end{aligned}$

正交归一： $_H \langle a_{n'}(t)|a_n(t)\rangle_H=\delta_{n'n} \quad \sum_{n}|a_n(t)\rangle_H_H\langle a_n(t)|=1$

在海森堡绘景下，态不随时间变化，基矢量随时间变化。

三、相互作用绘景

哈密顿量： $\hat{H}(t)=\hat{H}_0+\hat{V}(t)$

1. 态矢量

态矢量： $|\psi_I(t)\rangle =\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle$

其中， $\hat{U}_0=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0(t-t_0)}$ ，用到的未受到微扰的哈密顿量。

当 $t=t_0$ 时， $|\psi_I(t_0)\rangle=|\psi_S(t_0)\rangle$

态随着时间的演化：

$\begin{aligned}i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi_I(t)\rangle&=i\hbar \frac{\partial}{\partial t} (\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle) \\&=(H-H_0)\hat{U}_0^{\dagger}|\psi_S(t)\rangle=\hat{V}(t)|\psi_I(t)\rangle\end{aligned}$

态随着时间的演化与微扰 $\hat{V}(t)$ 有关。

初始条件： $|\psi_I(t_0)\rangle=|\psi_S(t_0)\rangle$

2. 算符

算符： $\hat{A}_I(t)=\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}_0(t, t_0)$

当 $t=t_0$ 时， $\hat{A}_I(t_0)=\hat{A}_S(t_0)$

算符随时间演化：

$\begin{aligned}i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_I(t) &=i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\big[\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}_0(t, t_0)\big]\\&=[\hat{A}_I(t), (\hat{H}_0(t))_I]+i\hbar[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_I\end{aligned}$

其中：

$(\hat{H}_0(t))_I=\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)\hat{H}_0(t)\hat{U}_0(t, t_0)$

$[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_I=\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]\hat{U}_0(t, t_0)$

算符随时间演化与未受到微扰的哈密顿量 $\hat{H}_0$ 有关。

初始条件： $\hat{A}_I(t_0)=\hat{A}_S(t_0)$

3. 算符平均值

算符 $\hat{A}_I(t)$ 的平均值为：

$\begin{aligned}\langle \hat{A}_I(t) \rangle &=\langle \psi_I(t)| \hat{A}_I(t) |\psi_I(t)\rangle\\&=\langle \psi_S(t)| \hat{U}_0(t, t_0)\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t) \hat{U}_0(t, t_0)\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle\\&=\langle \psi_S(t)| \hat{A}_S(t) |\psi_S(t)\rangle\end{aligned}$

4. 表象基矢

以 $\hat{A}$ 作为表象，基矢为 $\{|a_n(t)\rangle_I\}$ 。

本征方程： $\hat{A}_I(t)|a_n(t)\rangle_I=a_n |a_n(t)\rangle_I$

其中： $|a_n(t)\rangle_I=\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)|a_n\rangle$

正交归一： $_I \langle a_{n'}(t)|a_n(t)\rangle_I=\delta_{n'n} \quad \sum_{n}|a_n(t)\rangle_I_I\langle a_n(t)|=1$

相互作用绘景就是在未受到微扰时的海森堡绘景。相互作用绘景又称为狄拉克绘景。在相互作用绘景下，态和基矢都随时间变化。

参考资料：

[1] 国科大金彪老师“高等量子力学”手稿课件

[2] 知乎：三种绘景

[3] 知乎：量子力学的薛定谔、海森堡和相互作用表象

[4] 百度文库：高等量子力学三种绘景变换

2,600 次浏览

【说明：本站主要是个人的一些笔记和代码分享，内容可能会不定期修改。为了使全网显示的始终是最新版本，这里的文章未经同意请勿转载。引用请注明出处：https://www.guanjihuan.com】

量子力学中的三个绘景

一、薛定谔绘景

1. 态矢量

2. 算符

3. 算符平均值

4. 表象基矢

二、海森堡绘景

1. 态矢量

2. 算符

3. 算符平均值

4. 表象基矢

三、相互作用绘景

1. 态矢量

2. 算符

3. 算符平均值

4. 表象基矢

Published by guanjihuan

发表评论取消回复

一、薛定谔绘景

1. 态矢量

2. 算符

3. 算符平均值

4. 表象基矢

二、海森堡绘景

1. 态矢量

2. 算符

3. 算符平均值

4. 表象基矢

三、相互作用绘景

1. 态矢量

2. 算符

3. 算符平均值

4. 表象基矢

Published by guanjihuan

发表评论 取消回复

发表评论取消回复