学术, 其他笔记

量子力学中的三个绘景

一、薛定谔绘景

在外场\hat{V}(t)的作用下,哈密顿量\hat{H}(t)随时间变化。

1. 态矢量

态矢量:|\psi_S(t)\rangle =|\psi(t)\rangle

薛定谔方程:i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat{H}(t) |\psi(t)\rangle

2. 算符

在薛定谔绘景下,规定算符\hat{A}_S(t)(除\hat{V}(t)外)不随时间变化,即:\frac{\partial}{\partial t} \hat{A}_S(t) =0

3. 算符平均值

算符\hat{A}_S(t)的平均值为:\langle \hat{A}_S(t) \rangle =  \langle\psi_S(t)| \hat{A}_S(t) |\psi_S(t)\rangle

当该平均值为守恒量时,有:i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle \hat{A}_S(t) \rangle = \langle\psi_S(t)| \big\{ [\hat{A}_S(t), \hat{H}(t)]+i\hbar \frac{\partial}{\partial t}  \hat{A}_S(t)]\big\}|\psi_S(t)\rangle=0

于是得到:[\hat{A}_S(t), \hat{H}(t)]=0

4. 表象基矢

\hat{A}作为表象,基矢为\{|a_n\rangle\}

本征方程:\hat{A}|a_n\rangle = a_n |a_n\rangle

正交归一:\langle a_{n'}|a_n\rangle=\delta_{n'n}  \quad \sum_{n}|a_n\rangle\langle a_n|=1

在薛定谔绘景下,态矢量随时间变化,基矢不随时间变化。

二、海森堡绘景

1. 态矢量

态矢量:|\psi_H(t)\rangle =\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle

t=t_0时,|\psi_H(t_0)\rangle =|\psi_S(t_0)\rangle

逆关系:|\psi_S(t)\rangle =\hat{U}(t, t_0)|\psi_H(t)\rangle

态矢量关系使用两次:|\psi_H(t)\rangle =\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{U}(t, t_0)|\psi_H(t)\rangle

得到\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{U}(t, t_0)=1

在薛定谔绘景下,规定态矢量不随时间变化,即:\frac{\partial}{\partial t} |\psi_H(t)\rangle = 0

2. 算符

算符:\hat{A}_H(t)=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}(t, t_0)

t=t_0时,\hat{A}_H(t_0)=\hat{A}_S(t_0)

算符随时间演化:

\begin{aligned}i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_H(t) &=i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\big[\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}(t, t_0)\big]\\&=[\hat{A}_H(t), \hat{H}_H(t)]+i\hbar[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_H\end{aligned}

其中:

\hat{H}_H(t)=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{H}(t)\hat{U}(t, t_0)

[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_H=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]\hat{U}(t, t_0)

算符随时间演化的方程称为海森堡方程,初始条件为:\hat{A}_H(t_0)=\hat{A}_S(t_0)

3. 算符平均值

算符\hat{A}_H(t)的平均值为:

\begin{aligned}\langle \hat{A}_H(t) \rangle &=\langle \psi_H(t)| \hat{A}_H(t) |\psi_H(t)\rangle\\&=\langle \psi_S(t)| \hat{U}(t, t_0)\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t) \hat{U}(t, t_0)\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle\\&=\langle \psi_S(t)| \hat{A}_S(t) |\psi_S(t)\rangle\end{aligned}

4. 表象基矢

\hat{A}作为表象,基矢为\{|a_n(t)\rangle_H\}

本征方程:\hat{A}_H(t)|a_n(t)\rangle_H=a_n |a_n(t)\rangle_H

其中:|a_n(t)\rangle_H=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|a_n\rangle

之所以本征值是a_n,这是因为:

\begin{aligned} \hat{A}_H(t)|a_n(t)\rangle_H &=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}(t, t_0)\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|a_n\rangle \\&=a_n\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|a_n\rangle\\&=a_n |a_n(t)\rangle_H \end{aligned}

正交归一:_H \langle a_{n'}(t)|a_n(t)\rangle_H=\delta_{n'n} \quad \sum_{n}|a_n(t)\rangle_H_H\langle a_n(t)|=1

在海森堡绘景下,态不随时间变化,基矢量随时间变化。

三、相互作用绘景

哈密顿量:\hat{H}(t)=\hat{H}_0+\hat{V}(t)

1. 态矢量

态矢量:|\psi_I(t)\rangle =\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle

其中,\hat{U}_0=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0(t-t_0)},用到的未受到微扰的哈密顿量。

t=t_0时,|\psi_I(t_0)\rangle=|\psi_S(t_0)\rangle

态随着时间的演化:

\begin{aligned}i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi_I(t)\rangle&=i\hbar \frac{\partial}{\partial t} (\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle) \\&=(H-H_0)\hat{U}_0^{\dagger}|\psi_S(t)\rangle=\hat{V}(t)|\psi_I(t)\rangle\end{aligned}

态随着时间的演化与微扰\hat{V}(t)有关。

初始条件:|\psi_I(t_0)\rangle=|\psi_S(t_0)\rangle

2. 算符

算符:\hat{A}_I(t)=\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}_0(t, t_0)

t=t_0时,\hat{A}_I(t_0)=\hat{A}_S(t_0)

算符随时间演化:

\begin{aligned}i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_I(t) &=i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\big[\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}_0(t, t_0)\big]\\&=[\hat{A}_I(t), (\hat{H}_0(t))_I]+i\hbar[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_I\end{aligned}

其中:

(\hat{H}_0(t))_I=\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)\hat{H}_0(t)\hat{U}_0(t, t_0)

[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_I=\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]\hat{U}_0(t, t_0)

算符随时间演化与未受到微扰的哈密顿量\hat{H}_0有关。

初始条件:\hat{A}_I(t_0)=\hat{A}_S(t_0)

3. 算符平均值

算符\hat{A}_I(t)的平均值为:

\begin{aligned}\langle \hat{A}_I(t) \rangle &=\langle \psi_I(t)| \hat{A}_I(t) |\psi_I(t)\rangle\\&=\langle \psi_S(t)| \hat{U}_0(t, t_0)\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t) \hat{U}_0(t, t_0)\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle\\&=\langle \psi_S(t)| \hat{A}_S(t) |\psi_S(t)\rangle\end{aligned}

4. 表象基矢

\hat{A}作为表象,基矢为\{|a_n(t)\rangle_I\}

本征方程:\hat{A}_I(t)|a_n(t)\rangle_I=a_n |a_n(t)\rangle_I

其中:|a_n(t)\rangle_I=\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)|a_n\rangle

正交归一:_I \langle a_{n'}(t)|a_n(t)\rangle_I=\delta_{n'n} \quad \sum_{n}|a_n(t)\rangle_I_I\langle a_n(t)|=1

相互作用绘景就是在未受到微扰时的海森堡绘景。相互作用绘景又称为狄拉克绘景。在相互作用绘景下,态和基矢都随时间变化。

参考资料:

[1] 国科大金彪老师“高等量子力学”手稿课件

[2] 知乎:三种绘景

[3] 知乎:量子力学的薛定谔、海森堡和相互作用表象

[4] 百度文库:高等量子力学三种绘景变换

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