模型和能带, 学术

哈密顿量常见的三种形式

哈密顿量是一个算符,常见有以下三种形式:

1. 用Dirac记号表示

波函数可以写成Dirac记号:\psi=|\psi \rangle

对应的厄米共轭波函数为:\psi=\langle \psi|

内积:\langle \phi|\psi \rangle=\int \phi^{*}(q)  \psi(q) dq

外积:|\psi\rangle \langle \phi|,表示为一个算符。

\psi =\phi,外积\hat{P}=|\psi \rangle \langle \psi|也被称为投影算符。

A表象下,有一组正交归一的完备基\{|a_{i} \rangle\},满足

完备性:\sum_{i} |a_i \rangle\langle a_i |= 1

正交归一性:\langle a_i | a_j \rangle = \delta_{ij}

在该表象下,波函数写为:

|\psi \rangle= \sum_{i} |a_i \rangle \langle a_i| \psi \rangle = \sum_{i} c_{i} |a_{i} \rangle

在该表象下,算符写为:

\begin{aligned}\hat{H}&=\sum_{i}|a_i \rangle \langle a_i|\hat{H} \sum_{j}|a_j \rangle \langle a_j|\\&=\sum_{ij}|a_i \rangle \langle a_i| \hat{H}|a_j \rangle \langle a_j|\\&=\sum_{ij}H_{ij} |a_i \rangle \langle a_j|\end{aligned}

2. 用产生/湮灭算符来表示

在粒子数表象(二次量子化)下,单体算符\hat{H}=\sum_{i}\hat{h}(q_i)可以写为:

\hat{H}=\sum_{i j}h_{ij}\hat{c}_{i}^{\dagger}\hat{c}_j

证明过程略。其中,\hat{c}是湮灭算符,\hat{c}^{\dagger}是产生算符,对于费米子系统,有\{\hat{c}_i, \hat{c}_j\}=\delta_{ij}。系数为h_{ij}=\langle i|\hat{h}| j\rangle\hat{h}表示的是某个粒子态对应的算符(单粒子态算符)。

需要说明的是:这里的表达式与第一种用Dirac记号表示的表达式十分类似,但这里表象是已经选定为粒子数表象,给出的表达式只适用于单体算符,如果是二体算符或者多体算符,表达式会更复杂一些。而第一种用Dirac记号表示的表达式是一般的、抽象的结论,适用于所有表象,其中基矢量\{|a_{i} \rangle\}还没有给出具体的形式,要求是正交归一完备的即可。当表象选取为粒子数表象,同时只考虑单体问题时,这两种表示方式在物理上是等价的。

3. 用场算符来表示

场算符的定义为:

\hat{\psi}(q)=\sum_{i} \hat{c}_{i}\psi_{i}(q)

对应的厄米共轭场算符为:

\hat{\psi}^{\dagger}(q)=\sum_{i} \hat{c}_{i}^{\dagger}\psi_{i}^{*}(q)

单体算符\hat{H}=\sum_{i}\hat{h}(q_i)可以写为:

\hat{H}=\int \hat{\psi}^{\dagger}(q)\hat{h}(q)\hat{\psi}(q)dq

其中,\hat{h}(q)表示的是某个粒子态对应的算符(单粒子态算符)。

证明:把定义式代入上述表达式,得到

\begin{aligned}\hat{H}&=\int \hat{\psi}^{\dagger}(q)\hat{h}(q)\hat{\psi}(q)dq\\&=\int\sum_{i} \hat{c}_{i}^{\dagger}\psi_{i}^{*}(q)\hat{h}(q)\sum_{j} \hat{c}_{j}\psi_{j}(q)dq\\&=\sum_{ij}\hat{c}_{i}^{\dagger}\hat{c}_{j}\int\psi_{i}^{*}(q)\hat{h}(q)\psi_{j}(q)dq\\&=\sum_{ij}\langle i|\hat{h}| j\rangle \hat{c}_{i}^{\dagger}\hat{c}_{j}\\&=\sum_{ij}h_{ij} \hat{c}_{i}^{\dagger}\hat{c}_{j}\end{aligned}

得到第二种用产生/湮灭算符来表示的表达式,证毕。

参考资料:

[1] 国科大金彪老师高等量子力学课堂笔记

[2] 季燕江《量子力学讲义》

[3] 百度百科:狄拉克符号

[4] 百度文库:P(四章第四讲)狄拉克符号

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4 thoughts on “哈密顿量常见的三种形式”

  1. 博主您好,请问里面的公式是怎么换行的啊?我使用了您推荐的,但是貌似worldpress下不识别latex中的&,导致我无法公式换行,您是怎么解决的?谢谢!

      1. 我用的align环境,带公式排序的那种,前面加了那个latexpage,但是就是不换行也识别不了&,试了您的方法,虽然试别了&但是换行不对齐……

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