学术, 其他笔记

波函数和算符的幺正变换/表象变换

1. 表象

定义两个表象的正交完备归一基:

表象A: 正交完备归一基矢为\{\psi_n\},满足内积( \psi_m,  \psi_n)=\delta_{mn}

表象B: 正交完备归一基矢为\{\varphi_\alpha\},满足内积( \varphi_\alpha,  \varphi_\beta)=\delta_{\alpha\beta}

表象B中的任意基矢可以用A表象的基矢来表示,即

\varphi_\alpha=\sum_{n}S_{n\alpha}\psi_n

其中,S_{n\alpha}=(\psi_n, \varphi_\alpha),也就是得到表象变换矩阵S。可证明矩阵S是幺正矩阵。

2. 波函数的表象变换

波函数\chi在A表象中:

\chi_A=\sum_{n}a_n\psi_n

其中,a_n=(\psi_n, \chi)

波函数\chi在B表象中:

\chi_B=\sum_{\alpha}b_\alpha\varphi_\alpha

其中,b_\alpha=(\varphi_\alpha, \chi)

有以下关系:

b_\alpha=(\varphi_\alpha, \chi)=(\sum_{n}S_{n\alpha}\psi_n, \chi)=\sum_{n}S^{*}_{n\alpha}(\psi_n, \chi)=\sum_{n}S^{\dag}_{\alpha n}a_n

所以,b=S^{\dag}a

3. 算符的表象变换

算符\hat{F}在表象A中:F_{mn}=(\psi_m, \hat{F}\psi_n)=F_A

算符\hat{F}在表象B中:F_{\alpha\beta}=(\varphi _\alpha , \hat{F} \varphi _\beta )=F_B

有关系:

\begin{aligned}F_{\alpha\beta}= (\varphi _\alpha , \hat{F} \varphi _\beta )=( \sum_{n}S_{n\alpha}\psi_n,   \hat{F} \sum_{m}S_{m\beta}\psi_m ) \\ =  \sum_{nm}S^{*}_{n\alpha}( \psi_n ,  \hat{F} \psi_m) S_{m\beta} = \sum_{nm}S^{\dag}_{\alpha n} F_{nm} S_{m\beta} \end{aligned}

所以,F_B=S^{\dag}F_AS= F_B=S^{-1}F_AS

参考资料:

[1] 季燕江《量子力学讲义》

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2 thoughts on “波函数和算符的幺正变换/表象变换”

  1. 你好,我有几个问题想要请教您:
    一、表象那 S_{n\alpha}的下标是指标识矩阵的,标识哪个\psi_n变换到哪个\phi_{\alpha}的吧,不是指某个矩阵中某个矩阵元,请问是这样吗?
    二、S_{n\alpha}等于那两个波函数内积,内积不是得到一个数吗,为什么会得到一个矩阵呀请问?
    三、我看见幺正矩阵的性质有一个是S_{m\alpha}^*S_{n\alpha} = I \delta_{nm} 请问这个如何证明啊 ?
    如能解答,十分感谢

    1. (1)S_{n\alpha}是表示S矩阵的矩阵元,这个求和的过程其实就是矩阵和向量乘积的过程。
      (2)内积后是一个数,不同下标的向量的内积作为矩阵元,组成一个矩阵。
      (3)这个性质好像就是幺正矩阵的定义吧,不用证明。可以看看网上资料或线性代数相关的数学书。

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