拓扑不变量, 学术

陈数Chern number的计算(多条能带的Wilson loop方法,附Python代码)

这是之前的一篇:陈数Chern number的计算(Wilson loop方法,附Python代码),仅仅是计算某条能带的陈数,不支持能带交叉或简并。本篇给出支持能带交叉或简并的代码,即多带同时计算Wilson loop,并求行列式。公式和之前那篇博文一样:https://topocondmat.org/w4_haldane/ComputingChern.html

为了验证算法和代码的正确性,这里以这篇文章为例子:方格子紧束缚模型中朗道能级的陈数/霍尔电导(附Python代码)。当Ny为偶数时,存在能带交叉的情况,这时候需要两条带同时计算才能给出正确的陈数结果。之前那篇已经给出计算能带的代码,这里代码略,本篇底部有直接贴上对应的能带图。

补充说明:Wilson loop方法计算结果之所以存在虚部,根本原因是因为Wilson loop之后没有除以归一化系数。如果考虑了归一化系数,就没有虚部,参考这篇中的公式:陈数Chern number的计算(高效法,附Python/Matlab代码),感谢Song MR同学参与的讨论。另外,微信公众号的这篇文章也给出了原因:https://mp.weixin.qq.com/s/Ci8FCjtj7I93PE5aHmgrzA。如果考虑了归一化系数,这里的表达式和高效法的表达式是完全一致的。个人推荐加上这个归一化系数。

代码如下:

"""
This code is supported by the website: https://www.guanjihuan.com
The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/23989
"""

import numpy as np
import math
from math import *
import cmath
import functools

def hamiltonian(kx, ky, Ny, B):
    h00 = np.zeros((Ny, Ny), dtype=complex)
    h01 = np.zeros((Ny, Ny), dtype=complex)
    t = 1
    for iy in range(Ny-1):
        h00[iy, iy+1] = t
        h00[iy+1, iy] = t
    h00[Ny-1, 0] = t*cmath.exp(1j*ky)
    h00[0, Ny-1] = t*cmath.exp(-1j*ky)
    for iy in range(Ny):
        h01[iy, iy] = t*cmath.exp(-2*np.pi*1j*B*iy)
    matrix = h00 + h01*cmath.exp(1j*kx) + h01.transpose().conj()*cmath.exp(-1j*kx)
    return matrix


def main():
    Ny = 20

    H_k = functools.partial(hamiltonian, Ny=Ny, B=1/Ny)

    chern_number = calculate_chern_number_for_square_lattice_with_wilson_loop_for_degenerate_case(H_k, index_of_bands=range(int(Ny/2)-1), precision_of_wilson_loop=5)
    print('价带:', chern_number)
    print()

    chern_number = calculate_chern_number_for_square_lattice_with_wilson_loop_for_degenerate_case(H_k, index_of_bands=range(int(Ny/2)+2), precision_of_wilson_loop=5)
    print('价带(包含两个交叉能带):', chern_number)
    print()

    chern_number = calculate_chern_number_for_square_lattice_with_wilson_loop_for_degenerate_case(H_k, index_of_bands=range(Ny), precision_of_wilson_loop=5)
    print('所有能带:', chern_number)

    # # 函数可通过Guan软件包调用。安装方法:pip install --upgrade guan
    # import guan
    # chern_number = guan.calculate_chern_number_for_square_lattice_with_wilson_loop_for_degenerate_case(hamiltonian_function, index_of_bands=[0, 1], precision_of_plaquettes=20, precision_of_wilson_loop=5, print_show=0)


def calculate_chern_number_for_square_lattice_with_wilson_loop_for_degenerate_case(hamiltonian_function, index_of_bands=[0, 1], precision_of_plaquettes=20, precision_of_wilson_loop=5, print_show=0):
    delta = 2*math.pi/precision_of_plaquettes
    chern_number = 0
    for kx in np.arange(-math.pi, math.pi, delta):
        if print_show == 1:
            print(kx)
        for ky in np.arange(-math.pi, math.pi, delta):
            vector_array = []
            # line_1
            for i0 in range(precision_of_wilson_loop):
                H_delta = hamiltonian_function(kx+delta/precision_of_wilson_loop*i0, ky) 
                eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(H_delta)
                vector_delta = eigenvector[:, np.argsort(np.real(eigenvalue))]
                vector_array.append(vector_delta)
            # line_2
            for i0 in range(precision_of_wilson_loop):
                H_delta = hamiltonian_function(kx+delta, ky+delta/precision_of_wilson_loop*i0)  
                eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(H_delta)
                vector_delta = eigenvector[:, np.argsort(np.real(eigenvalue))]
                vector_array.append(vector_delta)
            # line_3
            for i0 in range(precision_of_wilson_loop):
                H_delta = hamiltonian_function(kx+delta-delta/precision_of_wilson_loop*i0, ky+delta)  
                eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(H_delta)
                vector_delta = eigenvector[:, np.argsort(np.real(eigenvalue))]
                vector_array.append(vector_delta)
            # line_4
            for i0 in range(precision_of_wilson_loop):
                H_delta = hamiltonian_function(kx, ky+delta-delta/precision_of_wilson_loop*i0)  
                eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(H_delta)
                vector_delta = eigenvector[:, np.argsort(np.real(eigenvalue))]
                vector_array.append(vector_delta)           
            wilson_loop = 1
            dim = len(index_of_bands)
            for i0 in range(len(vector_array)-1):
                dot_matrix = np.zeros((dim , dim), dtype=complex)
                i01 = 0
                for dim1 in index_of_bands:
                    i02 = 0
                    for dim2 in index_of_bands:
                        dot_matrix[i01, i02] = np.dot(vector_array[i0][:, dim1].transpose().conj(), vector_array[i0+1][:, dim2])
                        i02 += 1
                    i01 += 1
                det_value = np.linalg.det(dot_matrix)
                wilson_loop = wilson_loop*det_value
            dot_matrix_plus = np.zeros((dim , dim), dtype=complex)
            i01 = 0
            for dim1 in index_of_bands:
                i02 = 0
                for dim2 in index_of_bands:
                    dot_matrix_plus[i01, i02] = np.dot(vector_array[len(vector_array)-1][:, dim1].transpose().conj(), vector_array[0][:, dim2])
                    i02 += 1
                i01 += 1
            det_value = np.linalg.det(dot_matrix_plus)
            wilson_loop = wilson_loop*det_value
            arg = np.log(wilson_loop)/1j
            chern_number = chern_number + arg
    chern_number = chern_number/(2*math.pi)
    return chern_number


if __name__ == '__main__':
    main()

运算结果:

价带: (-8.999999999999996+22.620063283010385j)

价带(包含两个交叉能带): (8.000000000000004+22.225601922823458j)

所有能带: (8.988228160493337e-16+4.549167968104345j)

当增加precision_of_wilson_loop值时,虚数会变小。这里似乎对实部结果没影响。推荐使用这篇文章中的方法:陈数Chern number的计算(多条能带的高效法,附Python代码),即考虑了归一化系数。

以上计算对应的能带图:

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9 thoughts on “陈数Chern number的计算(多条能带的Wilson loop方法,附Python代码)”

  1. 请问,这篇博文https://topocondmat.org/w4_haldane/ComputingChern.html有没有发表出来呀,想引用

    1. 这个类似于在线教科书吧,好像是没有发表的。引用的话可以试着去找这个算法的原始文献,或者直接引用早期的陈数定义的文献。

  2. 老师您好,我将您的代码转为matlab代码后计算结果为:
    -9.0000 + 2.2725i
    9.0000 + 2.2725i
    4.3180e-16 + 9.1409e-13i。
    价带+交叉能带的结果为9。跟您的不一样,请问是哪里出了问题吗?
    附代码:
    clc;
    clear;
    close all;
    chern_number(9)
    chern_number(11)
    chern_number(20)
    function H=H(kx,ky) %构建哈密顿量
    t=1;
    global Ny;
    Ny=20;
    B=1/Ny;
    H1=zeros(Ny);
    H2=zeros(Ny);
    for i=1:1:Ny-1
    H1(i,i+1)=t;
    end
    H1(1,Ny)=t*exp(-1i*ky);
    for i=1:1:Ny
    H2(i,i)=t*exp(-2*pi*1i*B*i);
    end
    H=H1+H1'+H2*exp(1i*kx)+H2'*exp(-1i*kx);
    end

    function vector_new=get_vector(H)
    [vector,eigenvalue]=eig(H);
    [eigenvalue,index]=sort(real(diag(eigenvalue)),'ascend');
    vector_new=vector(:,index);
    end

    function C=chern_number(band)
    global Ny;
    n1=10;%small plaquettes精度
    n2=20;%Wilson loop精度
    C=0;
    delta=2*pi/n1;

    for kx=-pi:delta:pi-delta
    for ky=-pi:delta:pi-delta
    VV=[];
    %line1
    for m=0:1:n2-1
    VV=[VV get_vector(H(kx+delta/n2*m,ky))];
    end
    %line2
    for m=0:1:n2-1
    VV=[VV get_vector(H(kx+delta,ky+delta/n2*m))];
    end
    %line3
    for m=0:1:n2-1
    VV=[VV get_vector(H(kx+delta-delta/n2*m,ky+delta))];
    end
    %line4
    for m=0:1:n2-1
    VV=[VV get_vector(H(kx,ky+delta-delta/n2*m))];
    end

    wilson_loop=1;
    for k=1:1:4*n2-1
    M=zeros(band);
    for i=1:1:band
    for j=1:1:band
    M(i,j)=VV(:,Ny*(k-1)+i)'*VV(:,Ny*(k)+j);
    end
    end
    wilson_loop=wilson_loop*det(M);
    end
    M2=zeros(band);
    for i=1:1:band
    for j=1:1:band
    M2(i,j)=VV(:,Ny*(4*n2-1)+i)'*VV(:,j);
    end
    end
    wilson_loop=wilson_loop*det(M2);
    F=log(wilson_loop);
    C=C+F/(2*pi*1i);
    end
    end
    end

    1. 我一时也看不出来。你可以多检查下,甚至可以只选一个点,一个一个输出中间的值,看哪个语句有差别。建议检查下指标,看是否选取了一样数量的能带,因为python的指标是从0开始的,matlab的指标是从1开始的。

      1. 包括两条交叉能带应该是算到第11条。
        也就是他的 chern_number(11)

        对应python里算的range(int(Ny/2)+2)
        实质算到了 20/2+2=12,第12条了。

  3. 您好! 请问您程序里的index_of_bands如果小于能带总数时,是计算的前s条能带的陈数总和吗?似乎这样s无法遍历与所有能带求内积,是不需要吗?

    1. index_of_bands中可以取任意带,数量不限。如果是算体系的陈数,一般是计算费米能以下的价带的陈数总和。不需要算所有能带,所有能带的陈数一定为零。

  4. 你好!我想请教您,这代码计算不是交叉能带的话,结果还是正确的吗?

    1. 也是正确的,取一条就可以了。可以用原来单条能带的计算方法作为验证。

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